01 / 導讀
導讀
引用
Sydsæter, K., Hammond, P., Strøm, A., & Carvajal, A. (2021). Essential Mathematics for Economic Analysis (6th ed.). Pearson.
章節概要
第六版分五個部分，共二十章，其後是幾何附錄、希臘字母表、參考文獻和習題答案。培生（Pearson）把本書定位為一本內容廣泛的入門書，介紹在中級層次學習經濟學所需的數學工具，從初等主題逐步推進到較高深的主題。每章都穿插例題和習題，章末附有複習題。本版調整了全書結構：矩陣代數提前到多元微積分之前；新增了一元凹函數與凸函數一章和重積分一章；最後四章全部用於最佳化，約束最佳化被拆分為兩章。
第一部分 第1–5章：預備知識
第1章（邏輯與集合論基礎）介紹集合、邏輯、數學證明和數學歸納法。第2章（代數）複習實數、乘方、分數、不等式、絕對值、符號圖、求和記號和二項式定理。第3章（解方程）討論含引數的方程、二次方程和一些非線性方程、蘊含箭頭，以及二元一次方程組。第4章（一元函數）討論線性模型以及二次函數、多項式、冪函數、指數函數和對數函數；第5章（函數的性質）討論圖形平移、反函數、方程的圖形、平面上的距離和一般函數。
第二部分 第6–11章：一元微積分
第6章（微分）從曲線的斜率和切線出發建立導數，並介紹經濟應用、極限的簡要入門和求導法則。第7章（導數的應用）討論隱函數求導、反函數定理、線性近似與多項式近似、泰勒公式、彈性、連續性、介值定理、數列和羅必達法則。新增的第8章（凹函數與凸函數）從直觀出發，依次講定義、一般性質、一階和二階導數判別法以及拐點；培生指出其中包括超梯度和次梯度。第9章（最佳化）討論極值點、最值定理和中值定理以及經濟實例。第10章（積分）討論不定積分和定積分、經濟應用、分部積分和換元積分以及無窮區間上的積分。第11章（金融與動態專題）討論實際利率、連續複利、現值、等比級數、房貸還款、內部收益率，以及差分方程和微分方程的初步。
第三部分 第12–13章：多元代數
第12章（矩陣代數）介紹矩陣與向量、線性方程組、矩陣運算、轉置、高斯消元法，以及向量、直線和平面的幾何。第13章（行列式、逆矩陣與二次型）討論行列式、餘子式展開、逆矩陣、克拉瑪法則、李昂提夫模型，以及本版新擴充的特徵值、對角化和二次型。
第四部分 第14–16章：多元微積分
第14章（多元函數）介紹二元及多元函數、偏導數、凸集、凹函數與凸函數、經濟應用和偏彈性。第15章（偏導數的應用）討論鏈式法則、沿等值線的隱函數求導、替代彈性、齊次函數與位似函數、線性近似、微分以及方程組的求導。新增的第16章（重積分）討論二重積分和多元積分。
第五部分 第17–20章：多元最佳化
第17章（無約束最佳化）從兩個選擇變數推廣到多個變數，討論必要條件與充分條件、帶二次目標函數的線性模型、最值定理、比較靜態分析和包絡定理。第18章（等式約束）講解拉格朗日乘數法、乘數的解釋、該方法為何有效、充分條件和比較靜態分析。第19章（線性規劃）先用圖解法，再講對偶理論和互補鬆弛條件。第20章（非線性規劃）處理不等式約束和非負約束。
核心概念
第一部分：預備知識
- 數學證明與歸納法：開篇引入、貫穿全書的論證形式。
- 符號圖與求和記號：分析不等式和處理求和的工具。
第二部分：一元微積分
- 彈性：一個變數相對於另一個變數的相對變化率，是經濟應用的核心。
- 凹函數與凸函數：其形狀能保證駐點是最大值點或最小值點的函數。
- 現值與內部收益率：金融一章中的估值工具。
第三、四部分：矩陣與多元微積分
- 高斯消元法與克拉瑪法則：求解線性方程組的方法。
- 二次型與特徵值：判定二階條件的工具。
- 齊次函數與位似函數：生產函數和效用函數的性質。
第五部分：多元最佳化
- 包絡定理：問題的最優值如何隨引數變化。
- 拉格朗日乘數：等式約束最佳化的方法，以及把乘數解釋為影子價格。
- 對偶與互補鬆弛：線性規劃問題與其對偶問題之間的聯絡。
評析
優點
- 內容廣泛而系統。 二十章從集合論和邏輯一直講到非線性規劃，涵蓋了培生所說的在中級層次學習經濟學所需的數學工具。證明和歸納法在第1章就已引入，因此學生接觸到的不僅是技巧，還有數學論證。
- 經濟應用融入數學之中。 微分、導數應用、最佳化、積分和多元函數各章都有經濟應用或經濟實例的小節，還討論了彈性、李昂提夫模型、替代彈性和比較靜態分析。
- 練習充足且有答案。 培生強調書中有大量例題和習題、每章末的複習題，以及書內和網上提供的習題答案，適合自學。使用線上作業的課程可以配合MyLab Economics。
- 第六版結構合理。 把矩陣代數移到多元微積分之前，使二次型和特徵值可用於二階條件；最後四章則讓最佳化自成一個部分。
局限
- 對基礎薄弱者而言複習較快。 第一部分從邏輯和證明講起，再用四章複習代數、方程和函數；高中代數生疏的學生可能需要先讀一本更平緩的書。
- 動態內容較少。 差分方程和微分方程只在第11章末尾佔幾小節，書中不討論動態最佳化。
- 篇幅較長。 二十章超出一門課能覆蓋的範圍，教師需要取捨。
在課程中的定位
在本課程書單中，Sydsæter等人的這本書是經濟學數學方面主要的通用教材。Lis和Rosser的 Basic Mathematics for Economists 起點更低，從重建算術和代數開始，並用更多篇幅講金融數學；對高中數學薄弱的學生來說，它更適合作為第一本書，而本書是其後的自然進階。Ian Jacques的 Mathematics for Economics and Business 也是一本面向商科和經濟學學生的教材。
Chiang和Wainwright的 Fundamental Methods of Mathematical Economics 與本書內容高度重疊，並更深入地討論經濟模型和動態問題；學生可以把它當作同一套工具的另一種講解，或作為學習比較靜態和動態分析的下一步。Brock和Malliaris的 Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics 是研究所層次的著作，討論的正是本書第11章只作預告的動態問題。
如何使用本書
本書面向經濟學一、二年級學生，以及所有準備學習中級微觀和宏觀經濟學的人。由於第一部分會複習高中的代數和函數，具備這些基礎就可以開始。
- 第一學期： 第一部分（熟悉的代數內容可以略讀）和第二部分，以第6–9章為核心，第10–11章作為積分和金融部分。
- 第二學期： 第三至第五部分。第12–15章和第17–18章是中級經濟學的核心；第16、19和20章可根據課程大綱選用。
- 自學： 先獨立做習題再看解答，並把每章末的複習題當作進入下一章前的自測。
覺得第一部分進度太快的學生，可以先學Lis和Rosser的前幾章；準備讀研究所的學生，應特別重視講證明的第1章、講凹性的第8章，以及講最佳化的第17–20章。