01 / 导读
导读
引用
Sydsæter, K., Hammond, P., Strøm, A., & Carvajal, A. (2021). Essential Mathematics for Economic Analysis (6th ed.). Pearson.
章节概要
第六版分五个部分，共二十章，其后是几何附录、希腊字母表、参考文献和习题答案。培生公司把本书定位为一本内容广泛的入门书，介绍在中级层次学习经济学所需的数学工具，从初等主题逐步推进到较高深的主题。每章都穿插例题和习题，章末附有复习题。本版调整了全书结构：矩阵代数提前到多元微积分之前；新增了一元凹函数与凸函数一章和重积分一章；最后四章全部用于最优化，约束最优化被拆分为两章。
第一部分 第1–5章：预备知识
第1章（逻辑与集合论基础）介绍集合、逻辑、数学证明和数学归纳法。第2章（代数）复习实数、乘方、分数、不等式、绝对值、符号图、求和记号和二项式定理。第3章（解方程）讨论含参数的方程、二次方程和一些非线性方程、蕴含箭头，以及二元一次方程组。第4章（一元函数）讨论线性模型以及二次函数、多项式、幂函数、指数函数和对数函数；第5章（函数的性质）讨论图形平移、反函数、方程的图形、平面上的距离和一般函数。
第二部分 第6–11章：一元微积分
第6章（微分）从曲线的斜率和切线出发建立导数，并介绍经济应用、极限的简要入门和求导法则。第7章（导数的应用）讨论隐函数求导、反函数定理、线性近似与多项式近似、泰勒公式、弹性、连续性、介值定理、数列和洛必达法则。新增的第8章（凹函数与凸函数）从直观出发，依次讲定义、一般性质、一阶和二阶导数判别法以及拐点；培生公司指出其中包括超梯度和次梯度。第9章（最优化）讨论极值点、最值定理和中值定理以及经济实例。第10章（积分）讨论不定积分和定积分、经济应用、分部积分和换元积分以及无穷区间上的积分。第11章（金融与动态专题）讨论实际利率、连续复利、现值、等比级数、按揭还款、内部收益率，以及差分方程和微分方程的初步。
第三部分 第12–13章：多元代数
第12章（矩阵代数）介绍矩阵与向量、线性方程组、矩阵运算、转置、高斯消元法，以及向量、直线和平面的几何。第13章（行列式、逆矩阵与二次型）讨论行列式、余子式展开、逆矩阵、克莱姆法则、列昂惕夫模型，以及本版新扩充的特征值、对角化和二次型。
第四部分 第14–16章：多元微积分
第14章（多元函数）介绍二元及多元函数、偏导数、凸集、凹函数与凸函数、经济应用和偏弹性。第15章（偏导数的应用）讨论链式法则、沿等值线的隐函数求导、替代弹性、齐次函数与位似函数、线性近似、微分以及方程组的求导。新增的第16章（重积分）讨论二重积分和多元积分。
第五部分 第17–20章：多元最优化
第17章（无约束最优化）从两个选择变量推广到多个变量，讨论必要条件与充分条件、带二次目标函数的线性模型、最值定理、比较静态分析和包络定理。第18章（等式约束）讲解拉格朗日乘数法、乘数的解释、该方法为何有效、充分条件和比较静态分析。第19章（线性规划）先用图解法，再讲对偶理论和互补松弛条件。第20章（非线性规划）处理不等式约束和非负约束。
核心概念
第一部分：预备知识
- 数学证明与归纳法：开篇引入、贯穿全书的论证形式。
- 符号图与求和记号：分析不等式和处理求和的工具。
第二部分：一元微积分
- 弹性：一个变量相对于另一个变量的相对变化率，是经济应用的核心。
- 凹函数与凸函数：其形状能保证驻点是最大值点或最小值点的函数。
- 现值与内部收益率：金融一章中的估值工具。
第三、四部分：矩阵与多元微积分
- 高斯消元法与克莱姆法则：求解线性方程组的方法。
- 二次型与特征值：判定二阶条件的工具。
- 齐次函数与位似函数：生产函数和效用函数的性质。
第五部分：多元最优化
- 包络定理：问题的最优值如何随参数变化。
- 拉格朗日乘数：等式约束最优化的方法，以及把乘数解释为影子价格。
- 对偶与互补松弛：线性规划问题与其对偶问题之间的联系。
评析
优点
- 内容广泛而系统。 二十章从集合论和逻辑一直讲到非线性规划，涵盖了培生公司所说的在中级层次学习经济学所需的数学工具。证明和归纳法在第1章就已引入，因此学生接触到的不仅是技巧，还有数学论证。
- 经济应用融入数学之中。 微分、导数应用、最优化、积分和多元函数各章都有经济应用或经济实例的小节，还讨论了弹性、列昂惕夫模型、替代弹性和比较静态分析。
- 练习充足且有答案。 培生公司强调书中有大量例题和习题、每章末的复习题，以及书内和网上提供的习题答案，适合自学。使用在线作业的课程可以配合MyLab Economics。
- 第六版结构合理。 把矩阵代数移到多元微积分之前，使二次型和特征值可用于二阶条件；最后四章则让最优化自成一个部分。
局限
- 对基础薄弱者而言复习较快。 第一部分从逻辑和证明讲起，再用四章复习代数、方程和函数；中学代数生疏的学生可能需要先读一本更平缓的书。
- 动态内容较少。 差分方程和微分方程只在第11章末尾占几小节，书中不讨论动态最优化。
- 篇幅较长。 二十章超出一门课能覆盖的范围，教师需要取舍。
在课程中的定位
在本课程书单中，Sydsæter等人的这本书是经济学数学方面主要的通用教材。Lis和Rosser的 Basic Mathematics for Economists 起点更低，从重建算术和代数开始，并用更多篇幅讲金融数学；对中学数学薄弱的学生来说，它更适合作为第一本书，而本书是其后的自然进阶。Ian Jacques的 Mathematics for Economics and Business 也是一本面向商科和经济学学生的教材。
Chiang和Wainwright的 Fundamental Methods of Mathematical Economics 与本书内容高度重叠，并更深入地讨论经济模型和动态问题；学生可以把它当作同一套工具的另一种讲解，或作为学习比较静态和动态分析的下一步。Brock和Malliaris的 Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics 是研究生层次的著作，讨论的正是本书第11章只作预告的动态问题。
如何使用本书
本书面向经济学一、二年级学生，以及所有准备学习中级微观和宏观经济学的人。由于第一部分会复习中学的代数和函数，具备这些基础就可以开始。
- 第一学期： 第一部分（熟悉的代数内容可以略读）和第二部分，以第6–9章为核心，第10–11章作为积分和金融部分。
- 第二学期： 第三至第五部分。第12–15章和第17–18章是中级经济学的核心；第16、19和20章可根据教学大纲选用。
- 自学： 先独立做习题再看解答，并把每章末的复习题当作进入下一章前的自测。
觉得第一部分进度太快的学生，可以先学Lis和Rosser的前几章；准备读研究生的学生，应特别重视讲证明的第1章、讲凹性的第8章，以及讲最优化的第17–20章。