01 / 導讀
導讀
引用
Schey, H. M. (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus (4th ed.). W. W. Norton.
章節概要
本書很短，據圖書館記錄約163頁，共四章，後附習題解答。每章末尾都有一組習題。目錄中列出了各章內的小節，可以看出清晰的思路：以靜電學提供物理背景，每個新的運算元或定理都是作為描述電場的一種方式引入的。
第I章：引言、向量函式與靜電學
第一章有三節：引言、向量函式和靜電學。它建立起向量場的語言以及全書反覆回到的電場。
第II章：面積分與散度
本章從高斯定律和單位法向量開始，然後定義並計算面積分，引入通量。在用高斯定律求場之後，定義散度，給出它在柱座標和球座標中的形式，引入Del記號並證明散度定理，還給出該定理的兩個簡單應用。
第III章：線積分與旋度
第三章從功和線積分出發，討論涉及向量函式的線積分和路徑無關性，並定義旋度，包括它在柱座標與球座標中的形式及其含義。隨後給出環流定律的微分形式、斯托克斯定理、該定理的一個應用、單連通區域的作用，以及路徑無關性與旋度的關係。
第IV章：梯度
最後一章回到線積分來引入梯度。它用梯度來求靜電場並處理拉普拉斯方程，然後講方向導數、梯度的幾何意義以及它在柱座標和球座標中的形式。
習題解答
全書以習題解答收尾。
核心概念
第I–II章：場、通量與散度
- 向量函式與電場：第I章的背景。
- 通量與面積分：第II章的工具。
- 散度與散度定理：先區域性、後以積分形式表達的高斯定律。
第III–IV章：環流、旋度與梯度
- 線積分與路徑無關性：第III章的出發點。
- 旋度與斯托克斯定理：與散度內容相對應的環流部分。
- 梯度與拉普拉斯方程：第IV章的內容。
評析
優點
- 緊湊而有序。 四章依次講散度、旋度和梯度，每一個都與一條積分定理或一個積分量相連。
- 貫穿全書的物理例子。 目錄顯示，靜電學（第I章的電場、第II章的高斯定律、第IV章的求場與拉普拉斯方程）是一條主線，讀者是先把這些運算元當作描述場的工具，然後才從抽象角度處理它們。
- 沒有把座標系留到後面。 散度、旋度和梯度各有一節講它們在柱座標和球座標中的形式，而學生在物理課上往往正是在這裡遇到它們。
- 有習題也有解答。 每章末有習題，書末有習題解答，便於自學。
侷限
- 範圍狹窄。 目錄只限於散度、旋度、梯度及相關的積分定理，沒有列出一般曲線座標、張量和微分形式。
- 只以靜電學為背景。 為流體或力學而學向量分析的讀者，在本書中很少看到自己領域的例子。
- 刻意不拘形式。 副標題把本書稱為非正式的教材，所以它不能取代嚴格的多元微積分課程。
在課程中的定位
Schey 的書是較大篇幅數學方法教材的簡短而有針對性的補充，而不是一門完整的課程。Riley 與 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 在篇幅大得多、範圍更廣的教材裡，用第11、12章講了同樣的運算元和定理，兩者可以對照閱讀。Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences 和 Hassani 的 Mathematical Methods 把向量分析與許多其他主題放在一起，Schey 的各章可以作為這些部分的專門預備。
Arfken、Weber 與 Harris 是日後使用的參考書和研究生教材，Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 則是另一個主題的專門教材。在這份書單中，當散度、旋度和斯托克斯定理是眼前的障礙時，應當先翻開 Schey 的書。
如何使用本書
頁面後設資料把單變數微積分和偏導數列為先修要求，對電場有些瞭解會有幫助。本書適合即將開始學習電磁學或在電磁學中遇到困難的物理與工程專業學生。
實用的安排：
- 按順序閱讀。 四章層層相扣，第IV章對梯度的運用要用到第III章的線積分。
- 做習題。 習題在每章末尾；先自己嘗試，再看書末的解答。
- 配合課程。 學習高斯定律時讀第II章，學習環流和勢時讀第III、IV章。
- 對照課程覆蓋範圍。 目錄中除了三個運算元及其積分定理，沒有列出其他內容，所以要留意向量分析課程中還有哪些部分（例如一般曲線座標）需要另找來源。
- 繼續前進。 讀完之後，用 Riley 與 Hobson、Boas 或 Hassani 這類更全面的教材學習其餘的方法。