01 / 導讀
導讀
引用
Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2012). Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide (7th ed.). Academic Press.
章節概要
第七版共23章，約1,200頁，前面的前言包含“To the Student”“What's New”和“Pathways through the Material”幾個部分。每章以延伸閱讀（Additional Readings）清單結尾。出版社稱，這一版保留了第六版的主要特點，在講解、理論和例子之間取得更仔細的平衡，改進了模組化的章節，更新了記號，並採用以解題為中心的方法。內容從級數和向量，經過線性代數和微分方程，到複變函式、特殊函式、群論、積分變換、積分方程、變分法和機率。
第1–2章：Mathematical Preliminaries；Determinants and Matrices
第1章彙集預備知識：無窮級數與函式項級數、二項式定理、數學歸納法、向量、複數、導數與極值、積分的計算以及狄拉克δ函式。第2章講行列式和矩陣。
第3–4章：Vector Analysis；Tensors and Differential Forms
向量的性質、座標變換與轉動、微分向量運算元、積分定理、勢論和曲線座標。第4章轉入張量分析、贗張量與對偶張量、一般座標下的張量、雅可比行列式，以及微分形式及其微分與積分。
第5–6章：Vector Spaces；Eigenvalue Problems
函式空間、格拉姆–施密特正交化，以及算符（自伴、酉）及其變換與不變數。第6章講本徵值方程、厄米問題與矩陣對角化，以及正規矩陣。
第7–9章：Ordinary Differential Equations；Sturm-Liouville Theory；Partial Differential Equations
一階方程、常係數方程、二階線性方程、弗羅貝尼烏斯級數解、非齊次方程與非線性方程。隨後的斯圖姆–劉維爾理論講厄米算符、本徵值問題和變分法。偏微分方程一章處理一階和二階方程、分離變數，以及拉普拉斯、泊松、波動和熱傳導方程。
第10章：Green's Functions
一維問題以及二維、三維問題的格林函式。
第11–13章：Complex Variable Theory；Further Topics in Analysis；Gamma Function
複變函式論從柯西–黎曼條件講到柯西積分定理和公式、洛朗展開、奇點和留數演算，並用於計算定積分與求和。第12章彙集正交多項式、伯努利數、尤拉–麥克勞林公式、漸近級數、最速下降法和色散關係。第13章講伽馬函式、雙伽馬函式、貝塔函式、黎曼ζ函式和斯特林級數。
第14–16章：Bessel Functions；Legendre Functions；Angular Momentum
各類貝塞爾函式與球貝塞爾函式；勒讓德多項式、連帶勒讓德函式與球諧函式；以及角動量算符、耦合、球張量和向量球諧函式。
第17–18章：Group Theory；More Special Functions
群的表示與物理中的對稱性、離散群與連續群、洛倫茲群與麥克斯韋方程的洛倫茲協變性，以及空間群。第18章補充厄米、拉蓋爾和切比雪夫函式、超幾何函式、二重對數和橢圓積分。
第19–23章：Fourier Series；Integral Transforms；Integral Equations；Calculus of Variations；Probability and Statistics
傅立葉級數與吉布斯現象；含卷積定理、訊號處理應用和離散傅立葉變換的傅立葉變換與拉普拉斯變換；含諾伊曼級數和希爾伯特–施密特理論的積分方程；尤拉方程與有約束的變分問題；以及機率、二項分佈、泊松分佈和正態分佈，還有統計。
核心概念
- 級數、向量與複數：預備工具箱（第1章）。
- 張量與微分形式：向量分析中與座標無關的語言（第4章）。
- 自伴算符與本徵值問題：許多物理問題背後的線性代數結構（第5–6、8章）。
- 弗羅貝尼烏斯級數與斯圖姆–劉維爾理論：求解線性微分方程並與正交函式聯絡起來（第7–8章）。
- 格林函式：求解非齊次問題（第10章）。
- 留數演算：用復變方法計算積分與求和（第11章）。
- 特殊函式：伽馬、貝塞爾、勒讓德、厄米、拉蓋爾等（第13–15、18章）。
- 群論與洛倫茲群：對稱性（第17章）。
- 積分變換：傅立葉變換與拉普拉斯變換（第20章）。
評析
優點
- 一冊涵蓋極廣。 章節涵蓋了研究生層次物理所用數學的幾乎全部，也包括較短的教材省略的話題，如微分形式、含洛倫茲群的群論、積分方程和色散關係。MAA.org的書評稱其為一本對物理有用的數學的詳盡手冊。
- 以解題為導向。 出版社稱，本書側重解題技能和主動學習，配有大量章末習題，並清楚標出定義、定理和證明。Zentralblatt MATH上的一篇評論強調了其中大量的習題和練習。
- 模組化的章節和指引。 第七版宣傳改進了的模組化章節，以及前言中的“Pathways through the Material”一節，幫助讀者選擇要用的章節。
- 持久的參考價值。 每章末尾有延伸閱讀，小節多而具體，讀者可以回頭查詢某個具體結果。
侷限
- 篇幅與密度。 約1,200頁、23章，遠超單門課程所能使用的量；它最適合作為參考書，從中挑選章節。
- 不是第一門課程。 第1章是對級數、向量、複數和積分的簡要複習，站內列出的先修要求是一門中級數學方法課程；沒有這一背景的學生會覺得節奏很快。
- 數值方法很少。 內容專注於解析方法，沒有數值分析或計算的章節，這方面需要另找資料。
在課程中的定位
在數學方法課程中，Arfken、Weber與Harris是綜合性的研究生教材和參考書。Riley與Hobson的Foundation Mathematics for the Physical Sciences是一年級數學書，從中學水平出發建立微積分、向量、矩陣和微分方程工具；Schey的Div, Grad, Curl, and All That是以靜電學為主線的簡短、非正式的向量微積分讀物。兩者都應遠早於Arfken閱讀。Boas的Mathematical Methods in the Physical Sciences和Hassani的Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields是本科層次的方法書，Boas的寫法讓學生可以在接觸完整理論之前就使用方法，Hassani則用物理問題來引出每種技巧。Strogatz的Nonlinear Dynamics and Chaos屬於另一個主題，是非線性系統和混沌的入門。
通常的路線是先讀Boas或Hassani，再用Arfken、Weber與Harris深入學習課程所需的話題，或用於研究生階段的學習。
如何使用本書
本書適合已學完微積分、線性代數、微分方程和一門中級數學方法課程的物理專業研究生和高年級本科生，也可作為研究人員的參考書。
先讀前言中的pathways一節來選擇路線。典型的研究生順序是：第1–3章（預備知識、矩陣、向量分析），第5–8章（向量空間、本徵值問題、微分方程和斯圖姆–劉維爾理論），第11章（複變函式），然後是特殊函式（第13–15章）和傅立葉變換（第19–20章）。群論（17）、格林函式（10）、積分方程（21）、變分法（22）和機率（23）可按課程需要加入。完成章末習題，並通過延伸閱讀查詢更深入的論述。