01 / 導讀
導讀
引用
Boas, M. L. (2005). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd ed.). Wiley.
章節概要
全書共15章、864頁，之後是參考文獻、部分習題解答和索引。出版社把本書的目的描述為：幫助學生在短時間內，對高等物理、化學和工程課程所需的眾多數學領域各自形成基本的能力，既有足以打下紮實基礎的深度，又不含更適合數學系學生的詳細證明。各章以「雜題」（Miscellaneous Problems）習題組結尾。
第1章：無窮級數、冪級數
從幾何級數開始，經過正項級數的收斂判別法、交錯級數與條件收斂級數、冪級數及其收斂區間，到取得展開式的技巧。此外還談級數近似的精度、級數的一些用途，以及關於使用電腦的簡短一節。
第2章：複數
實部與虛部、複平面、複代數、複無窮級數、歐拉公式、冪與根、指數函數、三角函數和雙曲函數、對數與反函數，並有一節談應用。
第3章：線性代數
最長的一章（106頁）。從矩陣、列化簡與行列式，經過向量、直線與平面、矩陣運算與線性算子、線性相關、特殊矩陣與線性向量空間，到特徵值、特徵向量與對角化及其應用。以對群的簡短介紹和一節一般向量空間結束。據出版社介紹，矩陣對角化在第三版中從第10章移到了這裡，對線性向量空間的講解也更詳細。
第4–6章：偏微分；多重積分；向量分析
多變數微積分：全微分、連鎖律、包括拉格朗日乘數法在內的極值問題、變數代換與萊布尼茲法則；帶雅可比行列式的二重和三重積分與曲面積分；以及向量分析，從三重積與梯度到線積分、格林定理、散度定理和斯托克斯定理。
第7章：傅立葉級數與變換
週期函數、傅立葉係數、狄利克雷條件、複數形式、偶函數與奇函數、對聲音的應用、帕塞瓦定理和傅立葉變換。據出版社介紹，傅立葉積分在第三版中被移到了這裡。
第8章：常微分方程
可分離變數方程與一階線性方程、常係數二階線性方程、拉普拉斯變換及其在解方程中的應用、摺積、狄拉克δ函數，以及對格林函數的簡要介紹。拉普拉斯變換和擴充後的δ函數的講解是本版的新安排。
第9–10章：變分法；張量分析
歐拉方程、最速降線、拉格朗日方程和等周問題；然後是笛卡兒張量、慣性張量、克羅內克δ與列維–奇維塔符號、偽向量、曲線座標和非笛卡兒張量。出版社說，本版擴充了張量的講解。
第11–12章：特殊函數；微分方程的級數解：勒壤得、貝索、埃爾米特和拉蓋爾函數
Γ函數與Β函數、誤差函數、漸近級數、斯特林公式和橢圓積分；然後是勒壤得方程與多項式、弗羅貝尼烏斯方法、貝索函數，以及帶升降算符的埃爾米特函數和拉蓋爾函數。
第13–15章：偏微分方程；複變函數；機率與統計
直角、柱和球座標情形下的拉普拉斯方程、擴散方程、波動方程和帕松方程；解析函數、圍道積分、洛朗級數、留數定理和保角映射；以及機率、隨機變數、二項分布、常態分布與帕松分布，還有用於實驗測量的統計。
核心概念
第1–3章：級數、複數、線性代數
- 級數的收斂：判斷無窮級數能否使用的各種檢驗法。
- 歐拉公式：聯繫複指數與三角函數的關係。
- 對角化：求特徵值和特徵向量以簡化矩陣問題。
第4–8章：微積分、向量、傅立葉、微分方程
- 拉格朗日乘數法：在限制條件下求某個量的最大或最小值。
- 散度定理與斯托克斯定理：向量分析中的積分關係。
- 傅立葉級數與變換：週期函數的展開及其向變換的推廣。
- 拉普拉斯變換與格林函數：求解微分方程的工具。
第9–15章：變分、張量、特殊函數、偏微分方程、複變函數、機率
- 歐拉方程：積分取駐值的條件。
- 笛卡兒張量：如慣性張量這樣按確定方式變換的量。
- 勒壤得函數與貝索函數：分離變數後偏微分方程中出現的方程的解。
- 留數定理：藉助複圍道求定積分。
評析
優點
- 一冊之內涵蓋面廣。 目錄從級數和線性代數一直到偏微分方程、複分析和機率。各章末的雜題部分提供跨主題的練習。
- 有意地以方法為先。 出版社說明本書強調方法勝過應用，追求深度而不用繁重的證明，並且「不是一本食譜」。「級數的應用」「對角化的應用」「保角映射的一些應用」等節名顯示了應用被安排在哪裡。
- 有理由的修訂。 第三版調整了內容的安排：對角化移入線性代數一章，基底函數的講解貫穿傅立葉、微分方程、級數解和偏微分方程各章，拉普拉斯變換和δ函數則放在微分方程一章。書中全程指出了電腦代數系統的用處與陷阱。
- 對後續課程有用。 關於慣性張量、拉格朗日方程、升降算符和薛丁格方程的各節，把數學與力學和量子力學聯繫了起來。
局限
- 證明較少。 依出版社自己的描述，詳細證明被略去，所以想要對收斂、變換或分布作嚴格論證的讀者需要數學教材。
- 廣度限制了深度。 有幾個主題講得較簡短，例如群只有一個七頁的小節，拉普拉斯變換只有三個短節。研究所課程需要更全面的參考書。
- 計算內容很少。 沒有專談數值方法的章節；電腦只出現在一些評註中，以及第1章裡簡短的「使用電腦」一節。
- 書外的主題。 非線性動力學與混沌沒有出現在目錄中。
在課程中的定位
Boas 是供大學部物理課程中段學生使用的、一冊之內內容廣泛的數學方法教材。Albano 在 Physics Today 上的書評（2001年）認為 Hassani 的 Mathematical Methods 第一版在目標讀者、節奏和涵蓋領域上與當時已是第二版的 Boas 最為接近。Hassani 把複數推遲到第18章，並設有張量、積分變換、混沌和機率各章，而 Boas 把複數放在第2章。
在 Boas 之前，Riley 與 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 從中學數學起步建立微積分、向量和矩陣，Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 是進入向量微積分的輕鬆路徑，對第6章有幫助。在 Boas 之後，Arfken、Weber 與 Harris 的 Mathematical Methods for Physicists 是研究所層次的參考書，Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 則涉及 Boas 沒有談的主題。
如何使用本書
出版社面向的是修過兩學期或三學期入門微積分課程的學生。此後本書自己建立其他工具，線性代數和微分方程都從引言開始談起。
從第1章和第2章開始：級數和複數在後面的章節中反覆出現，例如傅立葉級數的複數形式和複變函數一章。第3–6章提供物理課程中使用的線性代數和多變數微積分，可作為第一學期的合理內容。第7、8、12、13章（傅立葉方法、微分方程、特殊函數和偏微分方程）是電磁學和量子力學課程的核心。第9、10、11、14、15章可以隨力學、相對論、量子力學或實驗課的需要選讀。邊讀邊做習題；部分習題的解答在書末，書中關於電腦代數陷阱的評註可以當作提示，提醒用手算來核對機器的輸出。