01 / 导读
导读
引用
Schey, H. M. (2005). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus (4th ed.). W. W. Norton.
章节概要
本书很短，据图书馆记录约163页，共四章，后附习题解答。每章末尾都有一组习题。目录中列出了各章内的小节，可以看出清晰的思路：以静电学提供物理背景，每个新的算子或定理都是作为描述电场的一种方式引入的。
第I章：引言、矢量函数与静电学
第一章有三节：引言、矢量函数和静电学。它建立起矢量场的语言以及全书反复回到的电场。
第II章：面积分与散度
本章从高斯定律和单位法向量开始，然后定义并计算面积分，引入通量。在用高斯定律求场之后，定义散度，给出它在柱坐标和球坐标中的形式，引入Del记号并证明散度定理，还给出该定理的两个简单应用。
第III章：线积分与旋度
第三章从功和线积分出发，讨论涉及矢量函数的线积分和路径无关性，并定义旋度，包括它在柱坐标与球坐标中的形式及其含义。随后给出环流定律的微分形式、斯托克斯定理、该定理的一个应用、单连通区域的作用，以及路径无关性与旋度的关系。
第IV章：梯度
最后一章回到线积分来引入梯度。它用梯度来求静电场并处理拉普拉斯方程，然后讲方向导数、梯度的几何意义以及它在柱坐标和球坐标中的形式。
习题解答
全书以习题解答收尾。
核心概念
第I–II章：场、通量与散度
- 矢量函数与电场：第I章的背景。
- 通量与面积分：第II章的工具。
- 散度与散度定理：先局部、后以积分形式表达的高斯定律。
第III–IV章：环流、旋度与梯度
- 线积分与路径无关性：第III章的出发点。
- 旋度与斯托克斯定理：与散度内容相对应的环流部分。
- 梯度与拉普拉斯方程：第IV章的内容。
评析
优点
- 紧凑而有序。 四章依次讲散度、旋度和梯度，每一个都与一条积分定理或一个积分量相连。
- 贯穿全书的物理例子。 目录显示，静电学（第I章的电场、第II章的高斯定律、第IV章的求场与拉普拉斯方程）是一条主线，读者是先把这些算子当作描述场的工具，然后才从抽象角度处理它们。
- 没有把坐标系留到后面。 散度、旋度和梯度各有一节讲它们在柱坐标和球坐标中的形式，而学生在物理课上往往正是在这里遇到它们。
- 有习题也有解答。 每章末有习题，书末有习题解答，便于自学。
局限
- 范围狭窄。 目录只限于散度、旋度、梯度及相关的积分定理，没有列出一般曲线坐标、张量和微分形式。
- 只以静电学为背景。 为流体或力学而学矢量分析的读者，在本书中很少看到自己领域的例子。
- 刻意不拘形式。 副标题把本书称为非正式的教材，所以它不能取代严格的多元微积分课程。
在课程中的定位
Schey 的书是较大篇幅数学方法教材的简短而有针对性的补充，而不是一门完整的课程。Riley 与 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 在篇幅大得多、范围更广的教材里，用第11、12章讲了同样的算子和定理，两者可以对照阅读。Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences 和 Hassani 的 Mathematical Methods 把矢量分析与许多其他主题放在一起，Schey 的各章可以作为这些部分的专门预备。
Arfken、Weber 与 Harris 是日后使用的参考书和研究生教材，Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 则是另一个主题的专门教材。在这份书单中，当散度、旋度和斯托克斯定理是眼前的障碍时，应当先翻开 Schey 的书。
如何使用本书
页面元数据把单变量微积分和偏导数列为先修要求，对电场有些了解会有帮助。本书适合即将开始学习电磁学或在电磁学中遇到困难的物理与工程专业学生。
实用的安排：
- 按顺序阅读。 四章层层相扣，第IV章对梯度的运用要用到第III章的线积分。
- 做习题。 习题在每章末尾；先自己尝试，再看书末的解答。
- 配合课程。 学习高斯定律时读第II章，学习环流和势时读第III、IV章。
- 对照课程覆盖范围。 目录中除了三个算子及其积分定理，没有列出其他内容，所以要留意矢量分析课程中还有哪些部分（例如一般曲线坐标）需要另找来源。
- 继续前进。 读完之后，用 Riley 与 Hobson、Boas 或 Hassani 这类更全面的教材学习其余的方法。