Foundation Mathematics for the Physical Sciences（物理科學基礎數學）

引用

Riley, K. F., & Hobson, M. P. (2011). Foundation Mathematics for the Physical Sciences. Cambridge University Press.

章節概要

全書共十五章和六個簡短的附錄。每章末尾有本章主要結果的小結，以及附有提示和答案的習題；每一節末尾還有幾道簡短的練習。前言把本書說成作者篇幅更大的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 的另一種版本：保留其中偏重打基礎的前半部分，略去真正屬於「方法」的專題。

第1–2章：算術與幾何；初等代數

開頭兩章複習許多讀者在中學已經接觸過的內容：冪、指數與對數函式、物理量綱、二項式展開、三角恆等式和不等式，隨後是多項式方程、解析幾何、部分分式以及若干證明方法。前言說明，加入這些入門內容是為了貼合讀者的實際起點。

第3–4章：微分學；積分學

第3章講微分、萊布尼茨定理、函式的特殊點與曲率、微分學中的定理和影像繪製。第4章涉及積分方法、分部積分、遞推（約化）公式、廣義積分、平面極座標中的積分、積分不等式以及積分的應用。

第5–6章：複數與雙曲函式；級數與極限

第5章說明引入複數的必要性，講複數的運算與極座標形式、棣莫弗定理、複對數與復冪，並以雙曲函式收尾。第6章處理級數：求和、收斂判別、級數運算、冪級數、泰勒級數和極限的計算。

第7–8章：偏微分；重積分

第7章轉向多變數函式：全微分、恰當與非恰當微分、鏈式法則、變數替換、帶約束與不帶約束的駐值、包絡、熱力學關係以及含參積分的微分。第8章介紹二重積分、其應用以及重積分中的變數替換。

第9–10章：向量代數；矩陣與向量空間

第9章涵蓋數量積與向量積、三重積、直線、平面與球面、距離問題以及倒易向量。第10章是全書最長的一章，從向量空間和線性運算元出發，經行列式、逆矩陣、秩和線性方程組，講到特徵值、對角化、二次型與厄米型以及求和約定。

第11–12章：向量微積分；線積分、面積分與體積分

第11章講向量的微分、標量場與向量場、向量運算元、柱座標與球座標，以及一般曲線座標。第12章轉向線積分、面積分和體積分、平面上的格林定理、保守場與勢，以及散度定理和斯托克斯定理。

第13–15章：拉普拉斯變換；常微分方程；初等機率

第13章引入拉普拉斯變換、狄拉克δ函式和赫維賽德階躍函式。第14章處理一階與高階線性常微分方程以及線性遞推關係。第15章對機率作初等處理，從維恩圖、排列組合一直到常見的離散與連續分佈和聯合分佈。

附錄A–F

附錄收錄較為形式化的推導（自然對數的底、正弦函式的定義、萊布尼茨定理、求和約定）、物理常數表，以及下文提到的腳註問題的答案。

核心概念

第1–6章：代數、微積分、複數與級數

• 物理量綱：第1章中專門討論物理量量綱的一節。
• 積分方法：第4章講的換元、分部積分與遞推公式。
• 複數：第5章的極座標表示與棣莫弗定理。
• 泰勒級數與極限：第6章的冪級數內容。

第7–12章：多變數、矩陣與向量微積分

• 恰當與非恰當微分：第7章的基本語言，該章還含有一節熱力學關係。
• 特徵向量與特徵值：第10章，以及由此引出的對角化。
• 向量運算元：第11章定義的梯度、散度和旋度。
• 散度定理與斯托克斯定理：第12章末尾的積分定理。

第13–15章：變換、微分方程與機率

• 拉普拉斯變換：把微分方程化為代數問題的方法。
• 常係數線性常微分方程：第14章的核心。
• 隨機變數與分佈：第15章的基本框架。

評析

優點

• 以講解為主的寫法。 前言說，作者讓文字更偏向解釋：每個主題先做定性的、儘量以物理為依託的引入，再作形式化的論述，最後給出一兩個完整的例題。
• 會提問的腳註。 三百多條腳註中約有一半向讀者提出問題或下達指令，參考答案在附錄F。作者把它當作小組輔導中即時提問的替代。
• 分層練習。 每節後有簡短練習（共三百多道），每章末有小結，較有難度的習題（四百五十多道）放在章末。書中印有奇數題的簡要答案，另有《學生解答手冊》給出同一批題目的完整解答。
• 門檻友好。 前兩章回顧冪、對數、量綱和三角，中學基礎薄弱的讀者也有可以起步的地方。

侷限

• 有意不求完整。 前言說明本書略去了真正屬於「方法」的專題。目錄中沒有傅立葉級數、偏微分方程和特殊函式的章節，因此物理專業課程還需要第二本數學書。
• 作為「入門」偏長。 索引從第706頁開始，全書的結構也意味著一門課程不會講完十五章。
• 小結只是提示。 前言指出章末小結無法寫出每個結果所附帶的全部條件，應在讀完正文之後，把它當作清單和公式來源來用。

在課程中的定位

本書是數學方法書單的起點。Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences 在本站的介紹中，是讓學生在接觸完整理論之前先學會使用方法的教材，涵蓋級數、複數、線性代數、多元與向量微積分、傅立葉方法、微分方程、特殊函式和張量。Riley 與 Hobson 停在更靠前的位置，把更多篇幅花在中學層面的基礎和講解上，因此通常的順序是先讀本書，再讀 Boas，或讀 Hassani 的 Mathematical Methods（用物理問題來引出每種技巧）。

Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 以電靜力學為主線，用簡短而不拘形式的方式獨立講了第11–12章的內容，可與這兩章並讀。Arfken、Weber 與 Harris 是供本科課程之後使用的參考書和研究生教材；Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 是專門學科的教材，而不是通用的工具箱。

如何使用本書

本書適合希望數學被詳細講解的低年級理工科本科生，也適合在進入方法課之前需要溫習中學數學的自學者。前言把它定位為通向大學數學的溫和入門，起點要與讀者的實際水平相匹配。

實用的安排：

• 核心： 第1–4章和第6–7章用於鞏固微積分，第9–12章用於向量、矩陣和向量微積分，第14章用於常微分方程。中學基礎紮實的讀者可以略讀第1–2章。
• 按需閱讀： 涉及波或振動之前讀第5章；進入多變數物理之前讀第8章；課程用到拉普拉斯變換時讀第13章；學統計或統計物理之前讀第15章。
• 學習方法： 遇到腳註問題就先作答；每節讀完馬上做節末練習；章末習題留作複習。奇數題答案可對照書中，完整解法見《學生解答手冊》。
• 附錄： 正文提到時再讀，或像前言所允許的那樣，等主體章節熟悉後再補讀。