Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields（物理及相關科系數學方法）

引用

Hassani, S. (2009). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer.

章節概要

第二版約830頁，共32章。據出版社介紹，它被重新編排為「更便於使用的較短章節」（大多數章節約10到40頁），相較於第一版，新增了一部分全新的機率論內容，並增加了張量和積分變換方面的新材料。出版社的概述說明了順序：從向量代數和微積分的複習開始，接著是無窮級數、向量分析、複代數與複分析，以及常微分方程和偏微分方程，數值分析、非線性動力學與混沌、狄拉克δ函數則作為通向現代專題的入門。

第1–5章：座標系與向量；微分；積分：形式；積分：應用；狄拉克δ函數

開頭這一組（第3–170頁）是出版社提到的對座標、向量、微分和積分的複習，積分分為一個形式化的章節和一個應用章節。它以狄拉克δ函數一章收尾；第一版的書評者特別稱讚了對δ函數的處理，包括其二維和三維的形式。

第6–8章：平面與空間向量；有限維向量空間；相對論中的向量

向量代數一組：平面和空間中的向量，然後是有限維向量空間，再是相對論中使用的向量。第一版的書評指出，作者有意把有限維向量空間與正交多項式之類的函數空間思想統一起來，因此後面出現傅立葉級數和特殊函數時，帶有正交基底的函數空間這一概念已不陌生。

第9–11章：無窮級數；常用級數的應用；作為函數的積分與級數

無窮級數的收斂、常用級數的應用，以及用積分和級數表示函數。

第12–17章：向量與導數；通量與散度；線積分與旋度；應用向量分析；曲線座標中的向量分析；張量分析

向量微積分，隨後是曲線座標和張量。第一版的書評稱讚了書中用馬克士威方程組為向量微積分的講解收尾。張量分析（第439–474頁）是出版社列出的第二版有所擴充的內容之一。

第18–21章：複數運算；複導數與複積分；複級數；留數計算

從運算到微分與積分、級數和留數的複分析。它始於第477頁，已處在全書相當靠後的位置。

第22–28章：從偏微分方程到常微分方程；一階微分方程；二階線性微分方程；拉普拉斯方程：直角座標；拉普拉斯方程：球座標；拉普拉斯方程：柱座標；數學物理中的其他偏微分方程

微分方程。章名顯示了順序：把偏微分方程化為常微分方程，一階和二階常微分方程，三種座標系下的拉普拉斯方程，然後是數學物理中的其他方程。

第29–32章：積分變換；變分法；非線性動力學與混沌；機率論

最後四章各是一個獨立的主題：積分變換、變分法、非線性動力學與混沌入門，以及機率論，後者是本版新增的部分。其後是參考文獻。

核心概念

第1–8章：座標、微積分、δ函數、向量

• 狄拉克δ函數：一種能取出函數在某一點的值的廣義函數，單獨成章討論。
• 有限維向量空間：線性代數以及後面函數空間思想的舞台。
• 相對論中的向量：用向量表示時空量。

第9–21章：級數、向量分析、張量、複分析

• 無窮級數：含無窮多項的和，討論其收斂與應用。
• 通量、散度、線積分與旋度：向量分析的核心量。
• 張量分析：帶有多個指標的量，在本版中有所擴充。
• 留數計算：用複分析求積分的方法。

第22–32章：微分方程與更多主題

• 不同座標系中的拉普拉斯方程：直角、球和柱座標各有單獨的章節。
• 積分變換與變分法：在第29–30章展開的方法。
• 非線性動力學與混沌：通向現代專題的收尾入門。
• 機率論：第二版的新增部分。

評析

優點

• 與物理相聯繫的例子。 出版社介紹了「許多來自物理科學的原創、清晰且切題的例子」、章末習題和強調重要概念的方框。Albano 在 Physics Today（2001年6月）評論第一版時指出，每章以一段說明背景的開場白開始，用物理例子引出定義，書中還有許多關於人物與思想的註解。
• 比第一版涵蓋更廣。 第一版的書評把機率、張量和積分變換列為缺少的內容；出版社說第二版增加了機率以及張量和積分變換方面的新材料，目錄中現已包含張量、積分變換、變分法和機率論各章。
• 現代主題。 出版社把δ函數、非線性動力學與混沌以及數值分析列為通向現代數學物理的入門。
• 較短的章節。 重新編排為約10到40頁的章節，更便於指定具體主題。

局限

• 開頭的複習章節。 Albano 批評第一版開頭的章節是學生本應已經掌握的複習內容，並說作者對一些誤解的澄清有時反而造成更多困惑。據出版社介紹，第二版仍以複習開頭，但這些具體段落是否經過修訂並未說明。
• 第一版書評中的文風問題。 同一位書評者還認為註腳和縮寫太多，並有一些沒有根據的概括；這些意見針對第一版，憑現有資料無法用第二版核實。
• 複分析出現較晚。 複數運算直到第18章，即全書大約中點才出現，所以需要早用複數的課程必須調整章節順序。出版社引用的、針對前一版的 Zentralblatt MATH 書評也提到了同樣的遲到。
• 電腦與數值計算。 Albano 惋惜第一版沒有討論用電腦做符號或數值計算。出版社的概述提到第二版有數值分析，但32個章名中沒有一個以它命名，所以即使有相關內容，也包含在其他章節之內。

在課程中的定位

Hassani 是一本中等程度的大學部數學方法教材，與它最直接競爭的是 Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences。Albano 的書評認為第一版在目標讀者、節奏和涵蓋領域上與 Boas 最為接近。二者的差別在於順序。Boas 的既定目標是在短時間內培養各領域的基本能力，它把複數放在第2章、線性代數放在第3章；而 Hassani 把複數推遲到第18章，把向量空間放在第6–7章。兩本書都含有張量、變分法和機率，Boas 還為傅立葉級數與變換和特殊函數各設了單獨的章節。

作為預備，Riley 與 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 從中學數學談起，Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 是進入向量微積分的輕鬆路徑，對第12–17章有幫助。想比 Hassani 走得更深，Arfken、Weber 與 Harris 的 Mathematical Methods for Physicists 是研究所層次的參考書，而 Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 則以完整篇幅展開第31章的主題。

如何使用本書

本書是為已修完入門物理課程的物理、工程及相關科系的二、三年級學生而寫的。微積分被視為已學，但第1–5章會重新談到它。

對於一學期的數學方法課，較可行的選擇是第9–11章（級數）、第12–16章（向量分析）、第18–21章（複分析）和第22–28章（微分方程），第1–5章只在需要時查閱。第6–7章（向量空間）值得早讀：據第一版的書評，作者由此建立起帶有正交基底的函數空間的想法。張量（第17章）、積分變換、變分法、混沌和機率適合作為第二學期或自學的教材。請利用章末習題；如果需要較早用到複數，就先讀第18章。