01 / 導讀
導讀
引用
Bryant, V. (1990). Yet Another Introduction to Analysis. Cambridge University Press.
章節概要
本書是為剛入大學的學生寫的第一門實分析課程，設計成從他們在中學已經熟悉的微積分中自然生長出來。前言說，作者此前一本關於度量空間的書（二年級教材）的讀者曾請他推薦一本類似的一年級書，本書就是他的回答。全書分五章，加上一個很長的習題解答部分，用口語化的第一人稱文風寫成。目錄用一小串問題來介紹每一章，說明該章要回答什麼。
第1章：穩固的基礎
問題是：為什麼從數開始？小學算術能走多遠？還需要什麼額外假設？本章從計算 x²、|x| 和取整函式的導數與積分開始，藉此論證：研究函式必須先研究數。書中把關於整數和有理數的小學算術當作已知，證明不存在平方為2的有理數，然後引入完備性公理（「夾在中間」的性質）以得到2的平方根。隨後是上確界、有界集合、整數集合的最大元與最小元以及數學歸納法原理，本章以數e和π收尾，其中包括e是無理數的證明。習題穿插在各節之間，解答在書末。
第2章：逐步抵達
問題是：為什麼需要數列？它們如何變化？它們如何幫助我們求無窮求和？本章從第24頁到第74頁。
第3章：函式的方法
問題是：我們熟悉的各種函式意味著什麼？它們如何變化？它們之間有什麼關係？本章約七十頁，是最長的一章，其標題與問題表明對常見函式作系統研究。
第4章：終於講到微積分
問題是：如何求梯度？這如何引出微分？微分如何幫助我們求平均值與近似？標題暗示，微分是在前幾章的準備工作之後才出現的。
第5章：一個整合的結論
問題是：如何定義影像下的面積？為什麼它與微分有關？這是本書對積分以及積分與微分之間聯絡的處理。
習題解答
約七十頁，大約佔全書四分之一，用於習題解答。
核心概念
第1章：穩固的基礎
- 無理數：書中證明不存在滿足 x² = 2 的有理數 x，說明有理數存在空隙。
- 完備性公理：若兩個非空集合L和M滿足對L中所有 l 和M中所有 m 都有 l ≤ m，則存在一個實數夾在兩者之間。
- 上確界：有界集合的最小上界。
- 數學歸納法原理：本章從「正整數的每個非空集合都有最小元」這一事實推出。
第2–5章
- 數列與無窮求和、函式、梯度與微分、影像下的面積，是章標題與開篇問題中點出的物件。
評析
優點
- 先有動機，後有定義。 出版社說明，每個概念都在其必要性變得清楚、並已被非正式地用過之後才引入，新思想與中學所學話題相聯絡。第1章開篇正是如此：三個簡單的微積分計算，引出對實數建立精確圖景的需要。
- 預期讀者參與。 習題放在章內，正文請讀者先認真思考再看解答，解答在書末佔相當篇幅。出版社說，讀者被引導走過每一步，很快就能自己預測下一步。
- 起點交代清楚。 第1章明確說明它以小學算術為前提，再增加一個假設，即完備性，後面的結果都建立在這些假設之上。
- 面向一年級學生。 前言把本書定位為一年級教材，並指出在中學數學改革之後入學的學生有著與以往不同的期待；作者此前的度量空間一書被稱為二年級用書。
局限
- 實數是被假定的，而非構造出來的。 本書從所述的算術和完備性公理出發。需要實數構造的讀者要另找資料。
- 單變數，不涉及拓撲。 目錄中沒有度量空間或多元函式的章節；前言提到作者另一本面向二年級的度量空間著作。
- 不便按主題查詢。 目錄只列出五章並附以問題，而不是各節標題，所以要找某個具體定理，就得依靠索引。
- 帶有時代印記。 前言的論證建立在英國中學改革和GCSE考試之上，因此它對一年級學生已有知識的描述未必符合每位讀者。
在課程中的定位
布賴恩特的特色在於每個觀念都從中學微積分出發引入動機。勞拉·阿爾科克的 How to Think About Analysis 是一本學習指南，講解如何閱讀定義和證明，可與任何教材配合使用。R·P·伯恩的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 由八百多個問題構成，讀者通過解題前進，形式上比布賴恩特更主動。斯蒂芬·阿博特的 Understanding Analysis 是面向第一門嚴格課程的大學部教材，每章以一段引發動機的討論開篇，增加了實數直線的基本拓撲以及函式列與函式項級數的章節，是自然的下一步。巴特爾與舍伯特的 Introduction to Real Analysis 依次講數列、極限、連續、微分、黎曼積分和函式列；魯丁的 Principles of Mathematical Analysis 是建立在度量空間之上的簡明而嚴格的教材，並延伸到多變數。二者都比布賴恩特更形式化。
如何使用本書
本書面向學過中學微積分、正處於第一門分析課程起點的學生。除了願意動手解題之外，幾乎不需要別的先決條件。
從第1章開始，認真閱讀，包括習題：這一章確立了全書其餘部分所用的假設，並引入完備性公理與歸納法。第2至5章依次進行，因為各章標題描述的是一條連續的論證，從數列經過函式、微分，直到積分。
開啟書末解答之前，先嚐試每道習題，再用解答檢查自己的推理。讀完之後，可以轉向更形式化的書，如阿博特、巴特爾與舍伯特或魯丁，它們對拓撲和函式列的展開更充分。