01 / 導讀
導讀
引用
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill.
章節概要
第三版共十一章。Rudin 先構造實數和複數，接著發展度量空間的拓撲，然後是單變數分析（數列、連續性、微分、積分、函式列）,最後是多變數分析、微分形式和 Lebesgue 積分。本書以論述簡潔嚴密著稱；它寫於二十世紀五十年代初，源自作者在麻省理工學院講授分析的經驗，並在 1964 年和 1976 年兩次修訂。
背景與論點
Rudin 曾表示，他的目的是以組織良好、易讀、簡潔而高效的方式呈現數學中一個優美的領域，並給出完整而正確的證明。本書以現代的公理化風格處理經典實分析，以度量空間拓撲作為極限、連續性和緊緻性的基礎。
第 1 章：實數系與複數系
利用有序集、域和最小上界性來構造並刻畫實數和複數。第三版把用 Dedekind 分割構造實數的內容移到了附錄。
第 2 章：基礎拓撲
有限集、可數集和不可數集，度量空間，緊集、完全集和連通集。本章把實數軸當作度量空間，並提供全書其餘部分使用的拓撲詞彙。
第 3 章：數列與級數
收斂數列、子列、Cauchy 數列和特殊數列，然後是級數：根值判別法、比值判別法等，以及絕對收斂與條件收斂。
第 4 章：連續性
函式的極限與連續性、間斷點的型別，以及緊集和連通集上連續函式的性質。
第 5 章：微分
導數、中值定理、L'Hôpital 法則和高階導數。
第 6 章：Riemann-Stieltjes 積分
定義 Riemann-Stieltjes 積分並建立其性質，包括它在可求長曲線上的使用。
第 7 章：函式列與函式項級數
一致收斂及其對連續性、積分和微分的影響，然後是等度連續性和 Stone-Weierstrass 定理。
第 8 章：一些特殊函式
冪級數、指數函式、對數函式和三角函式，並推廣到複變函式。本章還包含代數基本定理和 Fourier 級數。
第 9 章：多元函式
線性變換和多元微分，包括反函式定理與隱函式定理，以及高維積分。
第 10 章：微分形式的積分
微分形式、單位分解以及 Stokes 定理，後者推廣了向量微積分中的若干經典定理。
第 11 章：Lebesgue 理論
測度與 Lebesgue 積分、可測函式，以及平方可積函式空間。
核心概念
第 1–4 章：基礎
- 最小上界性與有序域：刻畫實數的性質（第 1 章）。
- 度量空間、緊集與連通集：拓撲框架（第 2 章）。
- Cauchy 數列與收斂判別法：完備性與級數（第 3 章）。
- 連續性及其與緊緻性的關係（第 4 章）。
第 5–8 章：單變數分析
- 中值定理（第 5 章）。
- Riemann-Stieltjes 積分（第 6 章）。
- 一致收斂與 Stone-Weierstrass 定理（第 7 章）。
- 指數、對數與三角函式（第 8 章）。
第 9–11 章：多變數與 Lebesgue 理論
- 反函式定理與隱函式定理（第 9 章）。
- 微分形式與 Stokes 定理（第 10 章）。
- Lebesgue 測度與積分，以及 L^2（第 11 章）。
評析
優點
- 簡練而嚴謹。 證明完整、簡潔、安排周密。美國數學協會(MAA)把本書列入其推薦給本科圖書館的基本藏書目錄，本書也使 Rudin 在 1993 年獲得 Leroy P. Steele 數學闡述獎。
- 從數到 Lebesgue 積分的連貫路徑。 第 2 章的拓撲在第 3 至第 7 章中反覆使用，同一框架延續到多變數各章，因此本書讀起來像一個整體論證，而不是一堆專題。
- 覆蓋面。 在第一門課之外，本書還包括微分形式與 Stokes 定理以及 Lebesgue 理論入門，因此後面幾章可以用於第二門分析課。
- 有配套材料。 伯克利的 George Bergman 為第 1–7 章撰寫的補充評註和習題可以在網上找到，對理解許多簡練的論證很有幫助。
侷限
- 初讀較為簡省。 文風緊湊，幾乎不講動機，初學者和自學者很可能需要一本較溫和的輔助讀物。
- 只有理論。 本書講的是分析的理論。想要物理、經濟或計算方面例子的讀者必須另找。
- Lebesgue 理論只有一章。 最後一章是導論，而不是完整的測度論課程，複分析也只在第 8 章等少數地方出現。
在課程中的定位
Rudin 是經典的嚴格教材，適合在第一門以證明為主的分析課之後閱讀，而不是作為那門課本身。How to Think About Analysis 是教人如何讀定義、構造證明的學習指南，Numbers and Functions: Steps into Analysis 是以問題引導的入門書，Understanding Analysis 是先講動機再展開理論的本科教材。覺得 Rudin 過於緊湊的學生，可以選用其中任何一本。
Introduction to Real Analysis 和 Yet Another Introduction to Analysis 是書單中的另外兩本分析教材；它們的簡介把它們定位為對同一核心內容的嚴格導論。在這份書單中，Rudin 是把核心內容推進得最遠的一本，直到微分形式和 Lebesgue 理論。
如何使用本書
本書適合有紮實微積分基礎、並有一些閱讀證明經驗的數學專業學生，例如榮譽課程或研究生入門階段。它不是容易的第一讀物，但耐心地拿著筆慢慢讀會有回報。
一個實用的讀法：
- 第一遍： 按順序讀第 1–7 章。第 1 章初讀時可以略讀域和序公理的部分；第 2、3 章是其餘一切的基礎，值得花最多的時間。
- 單變數分析： 第 4–8 章，逐行閱讀證明，並把 Rudin 省略的中間步驟寫出來。
- 第二門課： 第 9–11 章，講多元函式、微分形式和 Lebesgue 理論。
- 配合： 用一本較溫和的教材獲得動機，用 Bergman 的補充材料獲得更多評註和習題。