How to Think About Analysis（如何思考分析）

引用

Alcock, L. (2014). How to Think About Analysis. Oxford University Press.

章節概要

本書是一本學習指南，而不是教科書。全書分為兩部分：第一部分「學習分析學」（第1–4章）討論如何學習分析學，第二部分「分析學中的概念」（第5–10章）討論核心概念，前後各有一篇引言和結論。第二部分每章都以概述開頭，以「展望」（Looking ahead）一節結尾。引言說明，本書涵蓋的內容少於大學早期的分析學課程，但對基礎知識以及學習這些知識時的心理層面給予了多得多的關注。

第1章：分析學是什麼樣的？

本章展示一頁典型的分析學講義，內容是數列收斂（此時並不要求讀者看懂），並藉此說明定義、定理和證明是什麼樣子，符號和文字應當如何閱讀，以及這類數學與此前以程序為主的數學有何不同。

第2章：公理、定義與定理

本章逐一討論數學理論的組成部分。關於把定義與一個例子、再與更多例子相聯繫，準確使用定義，檢查定理的前提，圖形與一般性，以及定理與其逆命題的各節，把閱讀變成一種主動的技能。

第3章：證明

本章說明證明在數學理論結構中的位置，以及分析學通常是如何講授的。隨後轉向如何學習證明，其中一節介紹本書推薦的、以研究為基礎的閱讀方法「自我解釋」，最後區分閱讀證明與構造證明。

第4章：學習分析學

實用的學習建議：學習分析學是怎樣的體驗，如何跟上課程，如何避免浪費時間，如何讓問題得到解答，以及如何調整學習策略。

第5章：數列

篇幅最長的一章。從什麼是數列、如何表示數列講起，經過單調性、有界性和收斂，到達收斂的嚴格定義，並分別從「直覺優先」和「定義優先」兩個方向切入。隨後討論如何證明數列收斂、收斂數列的組合，以及趨於無窮的數列。

第6章：級數

透過記號和部分和引入級數，並再次討論等比級數。兩個圍繞出人意料的例子展開的小節，為收斂判別法和交錯級數做好鋪墊；本章以冪級數、收斂半徑和泰勒級數結束。

第7章：連續性

在討論函數的例子和函數的給定方式（包括一些不太熟悉的例子）之後，本章同樣從「直覺優先」和「定義優先」兩個方向處理連續性的定義。內容包括定義的變體、證明函數連續、連續函數的組合、更多關於連續性的定理，以及極限與間斷點。

第8章：可微性

本章先討論關於可微性的一些常見誤解，再給出定義並加以應用。其後各節討論不可微性、關於可微函數的定理以及泰勒定理。

第9章：可積性

從面積與原函數的關係出發，經過面積的近似，重新建立積分，得到可積性的定義。本章給出一個不可積函數、黎曼條件以及關於可積函數的定理，最後以微積分基本定理結束。

第10章：實數

最後一章從「你所不知道的關於數的事情」開始，討論小數展開、有理數與無理數、實數公理，並以完備性收尾。

核心概念

第1–4章：學習分析學

• 作為工具的定義：理解一個定義，要用具體例子去檢驗它，並準確核對每一個條件。
• 定理的前提與逆命題：檢查定理假設了什麼、其逆命題是否成立，是理解定理的一部分。
• 自我解釋：向自己解釋證明的每一行；本書依據數學教育研究推薦這一學習方法。
• 理論的結構：公理、定義、定理和證明如何相互依賴，以及講課時如何呈現它們。

第5–6章：數列；級數

• 數列的收斂：嚴格定義，與它所刻畫的直覺對照閱讀。
• 部分和：當部分和數列收斂時，級數收斂。
• 收斂判別法與收斂半徑：判斷級數（特別是冪級數）是否收斂的工具。

第7–9章：連續性；可微性；可積性

• 連續性的定義及其變體：定義的各種等價表述，以及如何用它們證明連續性。
• 由定義出發的可微性：定義說了什麼，常見誤解出在哪裡，以及不可微的函數。
• 黎曼條件：可積性的判別準則，與一個不可積的例子一起使用。
• 微積分基本定理：積分與微分之間的嚴格聯繫。

第10章：實數

• 實數公理：假定實數系統所滿足的性質。
• 完備性：把實數與有理數區分開來的公理。

評析

優點

• 教人如何閱讀分析學。 第一部分專門講技能：對照例子閱讀定義，檢查定理的前提與逆命題，透過自我解釋學習證明。作者說明這些建議以研究為基礎，而且所有例子都取自分析學本身。
• 解釋困難從何而來。 引言說明，本書著重指出常見錯誤、誤解和困惑來源，其中包括把中學數學過度推廣所造成的問題。「一些常見誤解」這類小節標題，以及成對出現的「直覺優先」與「定義優先」小節，都體現了這一點。
• 適應不同的課程順序。 第二部分每章開頭都有概述，學生可以拿它與自己課程的大綱對照。引言指出，有的大學先講數列與級數，有的則先講連續、可微和積分。
• 幫助學生向前看。 第二部分每章都以「展望」一節結束，讓學生看到這些基礎與完整課程接下來要講的內容如何銜接。

局限

• 內容有意精簡。 作者明言，大學早期的分析學課程會比本書講得更多。它不能代替課程教材；緊性、均勻收斂、度量空間等主題在目錄中都沒有出現。
• 一般學習技能講得較簡略。 第一部分的學習建議比作者的 How to Study for a Mathematics Degree（美國版為 How to Study as a Mathematics Major）更為濃縮。引言本身也建議，對大學數學完全陌生的讀者先讀其中一本。
• 不宜快讀。 作者提醒，誰也不應指望很快讀完全書，並建議遇到難節先跳過、以後再回來。

在課程中的定位

在本課程書單中，這是最平緩的入門讀物：它是一本解釋分析學背後思維方式的輔助讀物，而不是課程教材。適合在 R. P. Burn 的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 之前或與之同時閱讀；Burn 的書透過一連串讓學生作答的問題來講授同樣的主題。Alcock 解釋如何閱讀和構造證明，Burn 則提供有組織的實際練習。

習慣養成之後，下一步是一本完整的課程教材。Stephen Abbott 的 Understanding Analysis 是帶有啟發性討論的嚴格單變數教材，Bartle 與 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 是更全面的教科書。Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是簡練而形式化的經典，宜留到更晚閱讀。Victor Bryant 的 Yet Another Introduction to Analysis 是另一條貫穿數列、連續、微分與積分的入門路徑。Alcock 第一部分的建議適用於上述所有教材，而討論完備性的第10章則為多數教材早早給出的實數公理化處理做好準備。

如何使用本書

本書是為尚未開始學習分析學的學生寫的，例如入讀大學前的暑假，或在美式體制下進入高年級課程之前。作者也希望它能幫助已經在上分析學課程卻感到吃力的學生，哪怕他們到考前複習時才開始閱讀。中學微積分是基本背景：各內容章節建立在讀者對數列、級數、微分和積分已有的熟悉認識之上。

實用的閱讀計畫：

• 從第一部分開始。 引言建議所有讀者都從第一部分讀起，即使已有一些大學數學經驗，因為後面的章節會反覆引用其中的建議。討論定義、定理和證明的第2章和第3章是核心。
• 按自己課程的順序讀第二部分。 用每章開頭的概述與課程對應：數列與級數課程讀第5–6章，連續、可微、可積讀第7–9章，涉及實數的地方讀第10章。
• 主動閱讀。 在第二部分的證明上試用第3章的自我解釋方法；按第2章的建議，繼續往下讀之前先用例子檢驗每個定義。
• 不要卡住。 按作者的建議，給難懂的小節做個記號，然後繼續往下讀；每章都是難易內容交錯的。
• 與教材配合使用。 把它與課程教材一起用，而不是替代教材：本書某一章讀懂之後，就去做 Abbott 或 Bartle 與 Sherbert 中相應的章節和習題。