01 / 导读
导读
引用
Bryant, V. (1990). Yet Another Introduction to Analysis. Cambridge University Press.
章节概要
本书是为刚入大学的学生写的第一门实分析课程，设计成从他们在中学已经熟悉的微积分中自然生长出来。前言说，作者此前一本关于度量空间的书（二年级教材）的读者曾请他推荐一本类似的一年级书，本书就是他的回答。全书分五章，加上一个很长的习题解答部分，用口语化的第一人称文风写成。目录用一小串问题来介绍每一章，说明该章要回答什么。
第1章：稳固的基础
问题是：为什么从数开始？小学算术能走多远？还需要什么额外假设？本章从计算 x²、|x| 和取整函数的导数与积分开始，借此论证：研究函数必须先研究数。书中把关于整数和有理数的小学算术当作已知，证明不存在平方为2的有理数，然后引入完备性公理（“夹在中间”的性质）以得到2的平方根。随后是上确界、有界集合、整数集合的最大元与最小元以及数学归纳法原理，本章以数e和π收尾，其中包括e是无理数的证明。习题穿插在各节之间，解答在书末。
第2章：逐步抵达
问题是：为什么需要数列？它们如何变化？它们如何帮助我们求无穷求和？本章从第24页到第74页。
第3章：函数的方法
问题是：我们熟悉的各种函数意味着什么？它们如何变化？它们之间有什么关系？本章约七十页，是最长的一章，其标题与问题表明对常见函数作系统研究。
第4章：终于讲到微积分
问题是：如何求梯度？这如何引出微分？微分如何帮助我们求平均值与近似？标题暗示，微分是在前几章的准备工作之后才出现的。
第5章：一个整合的结论
问题是：如何定义图像下的面积？为什么它与微分有关？这是本书对积分以及积分与微分之间联系的处理。
习题解答
约七十页，大约占全书四分之一，用于习题解答。
核心概念
第1章：稳固的基础
- 无理数：书中证明不存在满足 x² = 2 的有理数 x，说明有理数存在空隙。
- 完备性公理：若两个非空集合L和M满足对L中所有 l 和M中所有 m 都有 l ≤ m，则存在一个实数夹在两者之间。
- 上确界：有界集合的最小上界。
- 数学归纳法原理：本章从“正整数的每个非空集合都有最小元”这一事实推出。
第2–5章
- 数列与无穷求和、函数、梯度与微分、图像下的面积，是章标题与开篇问题中点出的对象。
评析
优点
- 先有动机，后有定义。 出版社说明，每个概念都在其必要性变得清楚、并已被非正式地用过之后才引入，新思想与中学所学话题相联系。第1章开篇正是如此：三个简单的微积分计算，引出对实数建立精确图景的需要。
- 预期读者参与。 习题放在章内，正文请读者先认真思考再看解答，解答在书末占相当篇幅。出版社说，读者被引导走过每一步，很快就能自己预测下一步。
- 起点交代清楚。 第1章明确说明它以小学算术为前提，再增加一个假设，即完备性，后面的结果都建立在这些假设之上。
- 面向一年级学生。 前言把本书定位为一年级教材，并指出在中学数学改革之后入学的学生有着与以往不同的期待；作者此前的度量空间一书被称为二年级用书。
局限
- 实数是被假定的，而非构造出来的。 本书从所述的算术和完备性公理出发。需要实数构造的读者要另找资料。
- 单变量，不涉及拓扑。 目录中没有度量空间或多元函数的章节；前言提到作者另一本面向二年级的度量空间著作。
- 不便按主题查找。 目录只列出五章并附以问题，而不是各节标题，所以要找某个具体定理，就得依靠索引。
- 带有时代印记。 前言的论证建立在英国中学改革和GCSE考试之上，因此它对一年级学生已有知识的描述未必符合每位读者。
在课程中的定位
布赖恩特的特色在于每个观念都从中学微积分出发引入动机。劳拉·阿尔科克的 How to Think About Analysis 是一本学习指南，讲解如何阅读定义和证明，可与任何教材配合使用。R·P·伯恩的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 由八百多个问题构成，读者通过解题前进，形式上比布赖恩特更主动。斯蒂芬·阿博特的 Understanding Analysis 是面向第一门严格课程的本科教材，每章以一段引发动机的讨论开篇，增加了实数直线的基本拓扑以及函数列与函数项级数的章节，是自然的下一步。巴特尔与舍伯特的 Introduction to Real Analysis 依次讲数列、极限、连续、微分、黎曼积分和函数列；鲁丁的 Principles of Mathematical Analysis 是建立在度量空间之上的简明而严格的教材，并延伸到多变量。二者都比布赖恩特更形式化。
如何使用本书
本书面向学过中学微积分、正处于第一门分析课程起点的学生。除了愿意动手解题之外，几乎不需要别的先决条件。
从第1章开始，认真阅读，包括习题：这一章确立了全书其余部分所用的假设，并引入完备性公理与归纳法。第2至5章依次进行，因为各章标题描述的是一条连续的论证，从数列经过函数、微分，直到积分。
打开书末解答之前，先尝试每道习题，再用解答检查自己的推理。读完之后，可以转向更形式化的书，如阿博特、巴特尔与舍伯特或鲁丁，它们对拓扑和函数列的展开更充分。