01 / 導讀
導讀
引用
Burn, R. P. (2015). Numbers and Functions: Steps into Analysis (3rd ed.). Cambridge University Press.
章節概要
本書由800多道編號問題串聯而成，大多數附有簡短答案。問題分佈在「數」與「函數」兩部分共12章中，另有三個簡短的附錄。讀者不是閱讀證明，而是逐題作答。各章開頭列出預備閱讀、同步閱讀和延伸閱讀（例如第1章就歸納法推薦了波利亞和索明斯基的著作）。每當一個重要思想告一段落，就有一段小結，隨後是歷史註記和答案。第一版出版於1992年，第二版於2000年；第三版（2015年）修訂了細節，並改寫了第3章和第10章中的少數問題。
第1章：數學歸納法
開篇一章培養用歸納法證明的習慣。最初的問題先在小的情形下檢驗一個公式，再說明對某個值成立如何傳遞到下一個值。據第一版序言，第1、2章是為那些需要在正式進入分析學之前鞏固技巧和信心的學生準備的。
第2章：不等式
本章大多數問題從明確給出的公理出發，推導數系和不等式的基本性質。序言把這看作一種練習：分辨哪些是熟悉的，哪些是真正證明過的。
第3章：數列：對無窮的初次嘗試
極限透過趨於零的數列（無窮小數列）引入。第三版中，這一引入建立在阿基米德求面積和體積的方法之上。本章在尚未假設完備性的情況下展開數列的收斂。
第4章：完備性：有理數缺少什麼
本書以「每個無限小數都收斂」作為完備性公理，並由此推出有界單調數列收斂。序言承認這比通常的路線更費篇幅，但認為它能讓學生的理解保持主動。第二版加重了上確界（最小上界）的作用。
第5章：級數：無窮的和
第一部分的最後一章轉向無窮的和。David Tall 為第三版撰寫的推薦語介紹了本書的路線：從無窮小數列到數列的極限、完備性，再到一整套無窮級數收斂判別法。
第6章：函數與連續性：鄰域、函數的極限
第二部分從函數、鄰域和函數的極限開始。序言說明，本章建立在第3章之上，但完全不依賴完備性。序言還解釋了作者為何偏好用收斂數列來定義連續性：根據教學經驗，他認為這比鄰域定義更有效。
第7章：連續性與完備性：區間上的函數
本章證明區間上連續函數的較難定理，這些定理都依賴完備性。證明使用有界數列的收斂子數列。
第8章：導數：切線
導數的定義，以及積、商和連鎖律這些不依賴完備性的性質。反函數的求導也放在這一章。
第9章：微分與完備性：中值定理、泰勒定理
需要完備性的結果，從羅爾定理經中值定理到泰勒定理。
第10章：積分：微積分基本定理
本章先用牛頓以前曾經使用或可能使用的方法計算面積。第三版開頭的問題在不訴諸完備性的情況下求連續單調曲線下的面積。接著用階梯函數建立黎曼積分，完備性透過上積分和下積分進入，本章以微積分基本定理結束。
第11章：指數與圓函數
本書不用積分或冪級數來定義指數函數、對數函數和三角函數，而是從指數（乘方）和圓弧長度出發。序言承認這種處理比通常更長，但指出它應用了前十章的定理。
第12章：函數列
關於均勻收斂的收尾一章，有些課程把這部分內容推遲到二年級。本章討論逐項積分和逐項求導，從而完成對中學微積分的大學式處理。
附錄1–3：實數的性質；幾何與直覺；供學生探究和討論的問題
簡短的附錄列出課程所依賴的實數性質，談及幾何與直覺，並提供供探究和討論的開放問題。
核心概念
第1–2章：數學歸納法；不等式
- 歸納法證明：先檢驗小的情形，再證明對某個自然數成立可以傳遞到下一個。
- 基於公理的數的性質：不把關於順序和不等式的熟悉事實視為理所當然，而是從明確給出的公理推出。
第3–5章：數列；完備性；級數
- 無窮小數列：趨於零的數列，本書講極限的出發點。
- 以無限小數表述的完備性：每個無限小數都收斂這一公理，由此證明有界單調數列收斂。
- 作為極限的級數：無窮的和是其部分和的極限。
第6–7章：連續性
- 數列連續性：透過收斂數列定義的連續性，本書採用的定義。
- 區間上的連續性：依賴完備性的一組定理，藉助有界數列的收斂子數列來證明。
第8–10章：導數與積分
- 不需要完備性的求導法則：積、商和連鎖律僅由定義即可推出。
- 中值定理與泰勒定理：需要完備性的結果。
- 用階梯函數建立黎曼積分：由階梯函數構造的上積分與下積分。
第11–12章：指數與圓函數；函數列
- 從基本原理出發的初等函數：指數與對數從乘方展開，圓函數從弧長展開。
- 均勻收斂：保證逐項積分和逐項求導成立的條件。
評析
優點
- 在構造中學習。 第一版序言闡明瞭設計原則：讓學生利用已知的東西生成新概念，並從精心挑選的特殊情形走向一般定理。問題的編排使讀者能夠自己表述定義和定理。
- 關注基礎的嚴格性。 作者說，本書比通常更堅持讓學生清楚在論述的每一步需要公理基礎的哪一部分。章名體現了這一點：連續性、微分，以及從第三版起的積分，都被分成不需要完備性的部分和需要完備性的部分。
- 經過分析學教師的檢驗與推薦。 第二版序言記載，華威大學採用的以問題解決為主的一年級分析學教學，使用了前五章中的大量問題。這一經驗帶來了更多的小結和圖示，併為小定理起了簡短的名字。David Tall 為第三版撰寫的推薦語稱讚問題的編排精當，小結有助於構建全域性圖景。European Mathematical Society Newsletter 評價本書通俗易懂而又精確。
- 以歷史為嚮導。 歷史註記貫穿全書。序言認為，中學微積分大致停留在18世紀的嚴格性水平，因此重走19世紀的發展歷程，是通往現代分析學的自然途徑。
局限
- 無法略讀。 800多道問題承擔了大部分理論內容，不做題的讀者收穫甚少。
- 有些選擇不合常規。 以無限小數收斂表述的完備性、用數列定義的連續性、從乘方和弧長建立的指數函數與圓函數，都不同於多數課程採用的定義。作者也承認其中一些路線較長。學生需要把它們與自己課程中的定義聯繫起來。
- 帶有寫作年代的假設。 第一版序言假定讀者有科學計算器並能使用繪圖軟體，還假定讀者具備英國中學高年級（sixth form）的微積分背景，其他教育體系的讀者可能需要自行調適。
在課程中的定位
在本課程的書目中，Burn 的書是專為動手練習而設計的。Lara Alcock 的 How to Think About Analysis 是一本解釋如何閱讀定義和證明的學習指南，而 Burn 則讓學生透過問題親自構造它們。兩本書適合在第一門分析學課程之前或期間搭配使用：Alcock 培養思維習慣，Burn 提供同一主題的持續練習。
作為第一門嚴格課程的主教材，Stephen Abbott 的 Understanding Analysis 以連貫的行文給出帶完整證明的理論，許多學生會用 Burn 的問題來為其前幾章做準備或加以鞏固。Bartle 與 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 是更全面的教科書。Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是供日後學習的形式化經典。Victor Bryant 的 Yet Another Introduction to Analysis 是講授同樣核心內容的另一本入門書。作者把本書定位為通往度量空間、點集拓撲或多元微積分的跳板。
如何使用本書
本書面向從中學微積分過渡到大學分析學的學生，用作者的話說，就是在中學學過微積分、準備好嚴格地重新審視它的讀者。前提是中學代數和微積分，以及動筆演算的意願。
- 按順序做每一道題。 理論就在問題之中。先嚐試每一道題，再核對簡短答案，並利用小結鞏固理解。
- 參照依賴關係圖。 序言給出了各章相互依賴的圖示。已經熟練掌握歸納法和不等式的學生可以跳過第1–2章。第3、4、5章構成關於數列、完備性和級數的核心。第6章只需要第3章，第7、9、10章用到完備性。
- 與自己的課程對應。 數列與級數課程重點做第3–5章；連續、微分與積分則做第6–10章。講初等函數的第11章和講均勻收斂的第12章是自然的延伸；序言也指出，有些課程把均勻收斂推遲到二年級。
- 小組使用。 這些問題適合工作坊和結對學習，附錄3還提供了供探究和討論的問題。