實分析導論

引用

Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). John Wiley & Sons.

章節概要

第1章：Preliminaries

三節提供工作用的詞彙：集合與函式、數學歸納法、有限集與無限集。關於邏輯與證明的附錄A和關於有限集與可數集的附錄B為這部分內容提供支撐。

第2章：The Real Numbers

本章從實數的性質出發構建實數軸：代數性質與序性質、絕對值與實數軸、完備性。隨後一節講確界性質的應用，一節講區間，本章到此結束。

第3章：Sequences and Series

數列及其極限、極限定理、單調數列、子列與波爾查諾—魏爾斯特拉斯定理、柯西準則以及真發散數列構成前六節。最後一節是無窮級數導論，把級數緊接在數列之後。

第4章：Limits

函式的極限、相應的極限定理以及極限概念的若干推廣，為連續性做準備。

第5章：Continuous Functions

連續性和連續函式的組合，引出區間上的連續函式、一致連續性，以及少見的「連續性與規範」（gauge）。本章以單調函式與反函式結束。

第6章：Differentiation

導數、中值定理、洛必達法則和泰勒定理。

第7章：The Riemann Integral

黎曼積分、黎曼可積函式、基本定理、達布積分和近似積分。

第8章：Sequences of Functions

首先是逐點收斂與一致收斂，以及極限的交換。指數函式和對數函式，接著是三角函式，在這一框架下展開。

第9章：Infinite Series

絕對收斂、絕對收斂與非絕對收斂的判別法，以及函式項級數。

第10章：The Generalized Riemann Integral

規範積分（廣義黎曼積分）：其定義與主要性質、與反常積分和勒貝格積分的關係、無窮區間以及收斂定理。

第11章：A Glimpse into Topology

R 中的開集與閉集、緊緻集、這一背景下的連續函式以及度量空間。

附錄

附錄A講邏輯與證明，B講有限集與可數集，C講黎曼與勒貝格判別準則，D講近似積分，E給出兩個例子。部分習題的提示佔據索引之前最後二十多頁。

核心概念

第1–2章：預備知識與實數

• 數學歸納法：證明關於自然數的命題的方法。
• 完備性（確界）性質：把實數與有理數區分開的性質。

第3–5章：數列、極限與連續性

• 波爾查諾—魏爾斯特拉斯定理與柯西準則：斷定數列有極限或有收斂子列的兩種辦法。
• 一致連續性：在整個集合上使用同一個容許誤差的連續性。
• 規範（gauge）：把第5章的連續性與第10章的廣義積分聯繫起來的工具。

第6–7章：微分與黎曼積分

• 中值定理與泰勒定理：可微性的主要推論。
• 微積分基本定理與達布積分：微分與積分之間的聯繫，以及積分的另一種定義。

第8–11章：收斂、廣義積分與拓撲

• 一致收斂：使極限能夠與連續性、微分和積分交換的條件。
• 廣義黎曼積分：包含黎曼積分和勒貝格積分的更強的積分。
• 緊緻集與度量空間：把理論帶出實數軸的拓撲思想。

評析

優點

• 明確的教學思路。 威立介紹說，本書延續前幾版的精神，幫助學生進行演繹思考、分析數學情境，並把想法推廣到新的情境。
• 基礎就在書內。 第1章、附錄A（邏輯與證明）和附錄B（有限集與可數集）使學生在開始之前不需要另外學一門證明課。
• 井然有序的單變數課程。 順序從實數到數列、極限、連續、微分、積分，然後是函式列和級數。級數緊跟在數列之後，這是本版的改動。
• 有特色的積分理論。 規範的觀點在「連續性與規範」一節中就已出現，並在講廣義黎曼積分的一整章中再次登場，威立指出這一章現在包含勒貝格積分。
• 通向下一門課的橋梁。 最後一章用四節介紹開集、閉集、緊緻集和度量空間。
• 自學幫助。 部分習題的提示在書末佔二十多頁。

局限

• 僅限單變數。 內容停留在實數軸上，度量空間只在最後一章略作一瞥。多變數分析、測度論和複分析都不涉及。
• 只有提示而無完整解答。 書末提供的是部分習題的提示，所以自學者無法核對完整的論證。
• 後面的章節較專門。 廣義黎曼積分（第10章）和拓撲（第11章）安排在九章核心內容之後。需要對勒貝格積分作標準測度論處理的讀者，仍需另一本書。

在課程中的定位

在實分析書單中，巴特爾與舍伯特是第一門嚴格分析課程的全面而傳統的教材。奧爾科克的 How to Think About Analysis 是一本學習指南，講解如何閱讀定義和構造證明，適合作為剛開始讀本書的學生的配套讀物。伯恩的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 幾乎完全透過精心排序的問題來教學。阿博特的 Understanding Analysis 是第一門嚴格課程的教材，每章以引發動機的討論開始，以一個專案結束。布萊恩特的 Yet Another Introduction to Analysis 是書單上的另一本入門書。

若要更高要求的處理，魯丁的 Principles of Mathematical Analysis 行文簡練，涵蓋度量空間、多元函式和勒貝格積分。巴特爾與舍伯特是通往同樣的單變數內容的較溫和的路徑，也是讀魯丁之前的自然準備。

如何使用本書

本書面向修讀分析學第一門以證明為主的課程的數學、理科和工程專業學生，讀者應當已學完單變數微積分。

一學期的課程通常講第1至7章：按需使用第1章和附錄，然後依次學習第2至7章。第二學期繼續第8、9章，再根據興趣選第10章或第11章。第11章是通向拓撲或度量空間分析的好橋梁；第10章適合對積分理論感興趣的人。

要做習題，尤其是每節前面的題目，認真嘗試之後再對照提示。對於過渡到證明有困難的學生，在讀第2至5章時同時讀奧爾科克會有幫助。