隨機微分方程：導論及應用

引用

Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (6th ed.). Springer.

章節概要

本書以完整的證明發展由布朗運動驅動的隨機微分方程理論，然後把它應用到一系列問題上：濾波、偏微分方程的邊值問題、最優停止、隨機控制和數學金融。本書出過六版，隨著內容不斷擴充，每一版都在 zbMATH 上有書評；第六版有十二章、附錄、部分習題的解答與提示、參考文獻和記號表。前八章是理論核心，第9至12章是應用。

第1章：引言

一章五頁的引導性章節，介紹本書要解決的問題。例子包括人口增長、帶噪聲輸入的電路以及期權定價。

第2章：一些數學準備

機率空間、隨機變數與隨機過程，以及布朗運動的構造和基本性質。全章十四頁，是一個簡明的回顧，而不是測度論機率的課程。

第3章：伊藤積分

關於布朗運動的伊藤積分的構造、性質及其推廣。它是之後一切內容的基礎。

第4章：伊藤公式與鞅表示定理

伊藤公式，即鏈式法則的隨機對應物，包括一維與多維情形，隨後是鞅表示定理。

第5章：隨機微分方程

例子與求解方法、存在性與唯一性定理，以及強解與弱解的區別。

第6章：濾波問題

根據帶噪聲的觀測估計系統狀態。本章討論線性濾波問題和卡爾曼–布西濾波器。

第7章：擴散：基本性質

伊藤擴散的馬爾可夫性和強馬爾可夫性、生成元以及丁金公式。

第8章：擴散理論中的其他專題

擴散的更多工具：柯爾莫哥洛夫向後方程、費曼–卡茨公式、隨機時間變換和吉爾薩諾夫變換。

第9–10章：在邊值問題中的應用；在最優停止中的應用

第9章給出偏微分方程的狄利克雷問題與泊松問題的隨機解。第10章討論最優停止問題，包括用變分不等式處理它們。

第11–12章：在隨機控制中的應用；在數學金融中的應用

第11章用隨機微分方程表述控制問題，並使用哈密頓–雅可比–貝爾曼方程。第12章把理論應用於由布朗運動驅動的金融市場，討論完備市場與可達期權的定價。

附錄

附錄涉及常態隨機變數、條件期望、一致可積性與鞅收斂，以及一個逼近結果。

核心概念

第2–5章：隨機分析

• 布朗運動：驅動本書各方程的連續隨機路徑。
• 伊藤積分：關於布朗運動的積分，對適當的非預見被積函式定義。
• 伊藤公式：伊藤過程函式的變數替換規則。
• 強解與弱解：關於「求解隨機微分方程」含義的兩種概念。

第6–8章：濾波與擴散

• 卡爾曼–布西濾波器：根據帶噪聲觀測估計線性系統的最優估計量。
• 生成元與丁金公式：把擴散與偏微分方程聯絡起來的工具。
• 吉爾薩諾夫變換：改變擴散漂移的測度變換。

第9–12章：應用

• 狄利克雷問題與泊松問題：用擴散來表示的經典邊值問題。
• 最優停止與隨機控制：選擇停時或控制使期望收益最優，涉及哈密頓–雅可比–貝爾曼方程。
• 期權定價：布朗運動市場中金融索取權的估值。

評析

優點

• 嚴格與易讀兼備。 埃芙琳·巴克瓦爾在 zbMATH 上評論第六版時說，全書的敘述成功地在廣大讀者易於理解與數學上的嚴格之間取得了平衡，證明完整，並稱本書是應用隨機微分方程研究生課程的首選。
• 應用範圍廣。 一本書把讀者從伊藤積分帶到濾波、邊值問題、最優停止、控制和金融。早先的書評也描述了同樣的組合：曼弗雷德·布雷格稱第三版是一本出色的初等入門書，實現了前言中提出的計劃。
• 有助於自學。 書中收有部分習題的解答與提示（約三十頁），巴克瓦爾指出，許多習題的詳細解答使第六版也適用於自學。
• 經六個版本打磨。 書評者記錄了本書的成長：後來的版本增加了鞅表示、用變分不等式處理的最優停止，以及一章數學金融。

局限

• 先修要求不低。 準備知識一章很短，關於條件期望和鞅收斂的附錄是為了補充正文所用到的內容。沒有學過測度論機率課程的讀者需要先做準備。
• 布朗運動的框架。 理論建立在布朗運動之上，本書不是對半鞅或跳過程的一般性論述。
• 金融只有一章。 數學金融只在第12章出現，所以想以金融為主的讀者需要專門的教材。
• 對應用的處理較簡短。 每個應用章都是進入某個大領域（控制、最優停止、偏微分方程）的簡短入門，要深入還需要進一步閱讀。

在課程中的定位

本書是隨機過程課程中偏隨機分析一端的主要教材。謝爾登·羅斯的 Introduction to Probability Models 與羅伯特·多布羅的 Introduction to Stochastic Processes with R 應當先讀，它們講馬爾可夫鏈和泊松過程，多布羅以對隨機分析的初步一瞥收尾。史蒂文·施裡夫的 Stochastic Calculus for Finance I 用二項模型在離散時間內、不用測度論地建立這些思想，是讀厄克森達爾之前有用的橋梁。西德尼·雷斯尼克的 Adventures in Stochastic Processes 講馬爾可夫鏈、更新過程、點過程、布朗運動和隨機遊動。

在金融方面，托馬斯·比約克的 Arbitrage Theory in Continuous Time 以及朗貝爾通與拉珀雷的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance，在定價與套利上花的篇幅比厄克森達爾的一章多得多，是自然的配套或後續讀物。大衛·威廉姆斯的 Probability with Martingales 是測度論機率方面合適的準備。

如何使用本書

本書面向機率論、統計學及相關領域的研究生，以及具備紮實機率論基礎的其他讀者。它要求具備實分析、達到條件期望和鞅水平的機率論，以及對微分方程的一些了解；第9章還用到偏微分方程。

快速讀第1、2章，認真讀第3至5章，因為伊藤積分、伊藤公式以及存在唯一性定理是核心。第7、8章引入應用所用的擴散工具。此後可按興趣從第6章和第9至12章中選讀：濾波與控制、邊值問題，或者面向金融的第12章。需要條件期望或鞅收斂時，查閱附錄。

做習題，並用書末的解答和提示核對。