隨機過程探險

引用

Resnick, S. I. (2002). Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser.

章節概要

第1章：預備知識（離散指標集和/或離散狀態空間）

開篇一章回顧處理非負整數值隨機變數及其分布的技巧，並把這些技巧用於簡單隨機漫步，以及作者稱為 ω 過程的另一個例子。臨近章末，引入停止時間，並用它推出瓦爾德恆等式和關於隨機漫步的一些結論。作者告訴初學者可以跳過關於 σ-代數的高階討論，只需粗略瞭解 σ-代數是在機率空間中組織資訊的工具。

第2章：馬可夫鏈

這一章篇幅可觀，約115頁，從一個觀察出發：現實的模型必須允許依賴關係，下週的購買取決於以往的滿意度，明天的庫存水平取決於今天的庫存，排隊長度取決於之前的排隊長度。本章在離散狀態空間上展開馬可夫鏈，其中包括分解原理，即在鏈回到某個參照狀態的時刻把它切成獨立同分布的塊。這種再生的思想在後面的章節中被反覆使用。

第3章：更新理論

更新過程用來描述事件間隔獨立同分布的現象。本章把更新理論呈現為應用機率中最基本的構件之一，因為複雜的模型中往往嵌有一個更新過程。核心是再生，即把一個過程分解成長度隨機的獨立同分布塊。本章約125頁，是全書最長的一章。

第4章：點過程

點過程描述點在 R、[0, ∞) 或 R^d 的某個子集中的隨機分布。本章建立在前面兩個例子之上：間隔獨立同分布的更新過程，以及 [0, ∞) 上的帕松過程，即間隔服從指數分布的更新過程。這一章相對較短，約65頁。

第5章：連續時間馬可夫鏈

本章把馬可夫性搬到連續時間，同時保持狀態空間離散，通常取 {0, 1, …}。所經過的狀態序列仍然是離散時間的鏈，但時間的流逝被各狀態中服從指數分布的停留時間所擾動。把第2章的分解論證加以推廣，可以看出過程在回到某個固定狀態的時刻再生，因此更新理論和再生過程在這裡成為工具。

第6章：布朗運動

本章引入布朗運動（維納過程），它最初由植物學家羅伯特·布朗提出，用來描述受分子碰撞的微粒的運動。書中把它定位為現代隨機過程理論和大樣本統計的核心，並且是描述金融市場、構造擴散過程、近似排隊模型以及計算估計中漸近分布的基礎。

第7章：一般隨機漫步

最後一章把隨機漫步定義為具有給定步長分布的獨立同分布實值步長的部分和 S_n。作者將其標註為不適合初學者的高階內容。

核心概念

第1章：預備知識

• 停止時間：其是否發生由到當時為止所得資訊決定的隨機時刻；本章用它推導瓦爾德恆等式。
• 簡單隨機漫步：用處理非負整數值變數的工具來分析的第一個主要例子。

第2–3章：馬可夫鏈；更新理論

• 分解原理：在回到參照狀態的時刻，把馬可夫鏈切成獨立同分布的塊。
• 再生：過程在某些隨機時刻重新開始，因而可以應用更新理論。
• 更新過程：[0, ∞) 上事件間隔為獨立同分布隨機變數的點過程。

第4–5章：點過程；連續時間馬可夫鏈

• 帕松過程：間隔服從指數分布的更新過程，也是點過程的基本例子。
• 停留時間：連續時間鏈在每個狀態中停留的、服從指數分布的時間。

第6–7章：布朗運動；一般隨機漫步

• 布朗運動（維納過程）：隨機運動的連續時間模型，是擴散過程和大量大樣本理論的基礎。
• 步長分布：隨機漫步中獨立同分布增量所共有的分布 F。

評析

優點

• 為不同讀者設計的模組結構。 出版社介紹說，本書的討論經過精心模組化，嚴格證明與合理性論證區分得十分清楚。讀者可以先跟隨思路，之後再回頭讀證明。作者還標明瞭初學者可以跳過的部分（第1章的 σ-代數討論）和應當避開的部分（第7章）。
• 不要求測度論。 書中設定的先修要求是一門不使用測度論的研究生水平機率課程，高階的條件化概念被推遲到後面的章節。
• 既有分析也有構造。 作者認為建立模型的人應當知道怎樣構造模型，因此為所研究的每一類過程都給出了構造。書中列出的應用有排隊、儲存、風險分析、遺傳學、庫存、選擇、經濟學和社會學。
• 評價。 出版社引用的評論者稱讚行文清晰和習題選擇得當（吉安-卡洛·羅塔），以及對較深理論的動機說明清楚、例子和習題有趣（Zentralblatt MATH）。Choice 和 Internationale Mathematische Nachrichten 也推薦把它作為教材。

局限

• 不是機率論的第一本書。 本書假定讀者已修過不使用測度論的研究生水平機率課程，沒有這個基礎的學生需要先讀更基礎的書。
• 沒有隨機分析。 七章內容止於作為一個過程的布朗運動。書中沒有隨機積分或隨機微分方程的章節，因此打算轉向金融或擴散過程的讀者還需要另一本書。
• 離散理論佔比偏重。 第1至3章佔了約610頁正文的近一半，主要關心布朗運動的讀者要走很長的路才到第6章。

在課程中的定位

在隨機過程書單中，本書是講授經典工具的一般性研究生教材。謝爾登·羅斯的 Introduction to Probability Models 在本科層次講解馬可夫鏈、帕松過程及其應用，是進入同一領域的較容易的路徑。多布羅的 Introduction to Stochastic Processes with R 把類似的內容與模擬結合起來，並以對隨機分析的溫和初探收尾。雷斯尼克在嚴格性以及更新理論和點過程理論上走得更遠，讀完其中任何一本後都可以自然地接上它。

如果目標是連續時間金融，路線則不同。施裡夫的 Stochastic Calculus for Finance I 是離散時間的入門，而厄克森達爾的 Stochastic Differential Equations、蘭貝爾頓與拉佩爾的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance 以及比約克的 Arbitrage Theory in Continuous Time 都建立在布朗運動和隨機積分之上。雷斯尼克為這些書提供布朗運動和隨機漫步的背景，但不涉及積分理論。

如何使用本書

本書適合已經修過不使用測度論的機率課程的統計學、運籌學、應用數學和工程專業研究生一年級學生。基礎紮實的本科生也可以把它用作隨機過程的第二門課程。

一種可行的路線是：先讀第1章（起初跳過 σ-代數部分），然後依次讀第2、3、5章，因為第5章重用了第2章的分解論證和第3章的再生思想。第4章建立在更新過程和帕松過程之上，可以在第3章之後閱讀。主要關心布朗運動的讀者可以早些瀏覽第6章，需要時再回頭查閱。第7章適合第二遍閱讀，或者想了解隨機漫步一般理論的讀者。

第一遍閱讀時，跟隨合理性論證，把嚴格證明留到以後。書中依靠習題來培養構建所述模型的能力，所以應當動手做習題。