随机微分方程：导论及应用

引用

Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (6th ed.). Springer.

章节概要

本书以完整的证明发展由布朗运动驱动的随机微分方程理论，然后把它应用到一系列问题上：滤波、偏微分方程的边值问题、最优停止、随机控制和数学金融。本书出过六版，随着内容不断扩充，每一版都在 zbMATH 上有书评；第六版有十二章、附录、部分习题的解答与提示、参考文献和记号表。前八章是理论核心，第9至12章是应用。

第1章：引言

一章五页的引导性章节，介绍本书要解决的问题。例子包括人口增长、带噪声输入的电路以及期权定价。

第2章：一些数学准备

概率空间、随机变量与随机过程，以及布朗运动的构造和基本性质。全章十四页，是一个简明的回顾，而不是测度论概率的课程。

第3章：伊藤积分

关于布朗运动的伊藤积分的构造、性质及其推广。它是之后一切内容的基础。

第4章：伊藤公式与鞅表示定理

伊藤公式，即链式法则的随机对应物，包括一维与多维情形，随后是鞅表示定理。

第5章：随机微分方程

例子与求解方法、存在性与唯一性定理，以及强解与弱解的区别。

第6章：滤波问题

根据带噪声的观测估计系统状态。本章讨论线性滤波问题和卡尔曼–布西滤波器。

第7章：扩散：基本性质

伊藤扩散的马尔可夫性和强马尔可夫性、生成元以及丁金公式。

第8章：扩散理论中的其他专题

扩散的更多工具：柯尔莫哥洛夫向后方程、费曼–卡茨公式、随机时间变换和吉尔萨诺夫变换。

第9–10章：在边值问题中的应用；在最优停止中的应用

第9章给出偏微分方程的狄利克雷问题与泊松问题的随机解。第10章讨论最优停止问题，包括用变分不等式处理它们。

第11–12章：在随机控制中的应用；在数学金融中的应用

第11章用随机微分方程表述控制问题，并使用哈密顿–雅可比–贝尔曼方程。第12章把理论应用于由布朗运动驱动的金融市场，讨论完备市场与可达期权的定价。

附录

附录涉及正态随机变量、条件期望、一致可积性与鞅收敛，以及一个逼近结果。

核心概念

第2–5章：随机分析

• 布朗运动：驱动本书各方程的连续随机路径。
• 伊藤积分：关于布朗运动的积分，对适当的非预见被积函数定义。
• 伊藤公式：伊藤过程函数的变量替换规则。
• 强解与弱解：关于“求解随机微分方程”含义的两种概念。

第6–8章：滤波与扩散

• 卡尔曼–布西滤波器：根据带噪声观测估计线性系统的最优估计量。
• 生成元与丁金公式：把扩散与偏微分方程联系起来的工具。
• 吉尔萨诺夫变换：改变扩散漂移的测度变换。

第9–12章：应用

• 狄利克雷问题与泊松问题：用扩散来表示的经典边值问题。
• 最优停止与随机控制：选择停时或控制使期望收益最优，涉及哈密顿–雅可比–贝尔曼方程。
• 期权定价：布朗运动市场中金融索取权的估值。

评析

优点

• 严格与易读兼备。 埃芙琳·巴克瓦尔在 zbMATH 上评论第六版时说，全书的叙述成功地在广大读者易于理解与数学上的严格之间取得了平衡，证明完整，并称本书是应用随机微分方程研究生课程的首选。
• 应用范围广。 一本书把读者从伊藤积分带到滤波、边值问题、最优停止、控制和金融。早先的书评也描述了同样的组合：曼弗雷德·布雷格称第三版是一本出色的初等入门书，实现了前言中提出的计划。
• 有助于自学。 书中收有部分习题的解答与提示（约三十页），巴克瓦尔指出，许多习题的详细解答使第六版也适用于自学。
• 经六个版本打磨。 书评者记录了本书的成长：后来的版本增加了鞅表示、用变分不等式处理的最优停止，以及一章数学金融。

局限

• 先修要求不低。 准备知识一章很短，关于条件期望和鞅收敛的附录是为了补充正文所用到的内容。没有学过测度论概率课程的读者需要先做准备。
• 布朗运动的框架。 理论建立在布朗运动之上，本书不是对半鞅或跳过程的一般性论述。
• 金融只有一章。 数学金融只在第12章出现，所以想以金融为主的读者需要专门的教材。
• 对应用的处理较简短。 每个应用章都是进入某个大领域（控制、最优停止、偏微分方程）的简短入门，要深入还需要进一步阅读。

在课程中的定位

本书是随机过程课程中偏随机分析一端的主要教材。谢尔登·罗斯的 Introduction to Probability Models 与罗伯特·多布罗的 Introduction to Stochastic Processes with R 应当先读，它们讲马尔可夫链和泊松过程，多布罗以对随机分析的初步一瞥收尾。史蒂文·施里夫的 Stochastic Calculus for Finance I 用二项模型在离散时间内、不用测度论地建立这些思想，是读厄克森达尔之前有用的桥梁。西德尼·雷斯尼克的 Adventures in Stochastic Processes 讲马尔可夫链、更新过程、点过程、布朗运动和随机游动。

在金融方面，托马斯·比约克的 Arbitrage Theory in Continuous Time 以及朗贝尔通与拉珀雷的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance，在定价与套利上花的篇幅比厄克森达尔的一章多得多，是自然的配套或后续读物。大卫·威廉姆斯的 Probability with Martingales 是测度论概率方面合适的准备。

如何使用本书

本书面向概率论、统计学及相关领域的研究生，以及具备扎实概率论基础的其他读者。它要求具备实分析、达到条件期望和鞅水平的概率论，以及对微分方程的一些了解；第9章还用到偏微分方程。

快速读第1、2章，认真读第3至5章，因为伊藤积分、伊藤公式以及存在唯一性定理是核心。第7、8章引入应用所用的扩散工具。此后可按兴趣从第6章和第9至12章中选读：滤波与控制、边值问题，或者面向金融的第12章。需要条件期望或鞅收敛时，查阅附录。

做习题，并用书末的解答和提示核对。