01 / 導讀
導讀
引用
Shreve, S. E. (2005). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer. Springer Finance.
章節概要
本書是兩卷本中的第一卷，源自卡內基美隆大學計算財務專業碩士學程最初十年的教學。篇幅很短，不到 190 頁：六章正文，加上一篇證明條件期望值基本性質的附錄。出版社直白說明本卷的目的：二項資產定價模型主要是作為一種工具，在簡單的情境下引入第二卷連續時間理論所需的概念。每章都以摘要、註記與經過課堂檢驗的習題作結，習題有的延伸理論，有的取自計量財務的實際問題。
第1章：二項無套利定價模型
本章建立股價的二項模型，說明如何以無套利原理替衍生性證券定價，並逐步推進到多期二項模型。接著是一節關於計算方面的考量。
第2章：擲硬幣空間上的機率論
在驅動二項模型的有限擲硬幣結果空間上，展開全書其餘部分所需的機率論：隨機變數、分配與期望值、條件期望值、鞅與馬可夫過程。由於空間是有限的，這些概念不需測度論即可定義與使用；條件期望值的基本性質在附錄中證明。
第3章：狀態價格
本章引入連結實際機率測度與風險中立測度的 Radon–Nikodým 導數過程，並展開狀態價格，其中有一節討論資本資產定價模型。
第4章：美式衍生性證券
討論可以提前履約的衍生性商品。本章先處理非路徑相依的美式衍生性商品，再引入停止時間並處理一般的美式衍生性商品，最後討論美式買權。
第5章：隨機漫步
把對稱隨機漫步當作布朗運動的離散前身：首達時間、反射原理，以及專門討論一個詳細例子的一節。
第6章：利率相關資產
把二項架構應用於利率：利率二項模型、固定收益衍生性商品、遠期測度與期貨。
核心概念
第1–2章：擲硬幣空間上的定價與機率
- 無套利定價：衍生性商品的價格等於複製其報酬之投資組合的期初資本。
- 風險中立機率測度：使折現資產價格成為鞅的測度，由此得到風險中立定價公式。
- 條件期望值：在已觀察到的擲硬幣結果下，對一個隨機量的最佳估計，是全書的核心工具。
- 鞅與馬可夫過程：沒有預期漂移的過程，以及未來只取決於目前狀態的過程。
第3–4章：測度變換與提前履約
- Radon–Nikodým 導數過程：把實際測度下的期望值轉換為風險中立測度下之期望值的過程。
- 狀態價格：只在未來某一個結果下才支付的款項在今天的價值。
- 停止時間：只由當下已知資訊決定的隨機時刻，用來描述美式選擇權何時履約。
第5–6章：隨機漫步與利率
- 首達時間與反射原理：隨機漫步首次到達某一水準的時刻，以及用來計算其分配的對稱性論證。
- 遠期測度：適合替未來某一固定日期之支付定價的測度變換。
- 期貨與遠期契約：在二項模型中定價的利率相關契約。
評析
優點
- 每個關鍵概念都在最簡單的情境中登場。 條件期望值、鞅、馬可夫過程、測度變換與停止時間都出現在有限的擲硬幣空間上，可以手算。讀者在第二卷的連續時間架構中再遇到它們時，已經明白其意義。
- 先備要求不高。 出版社說明，這些內容曾用於只具備微積分與以微積分為基礎之機率論背景的學生；有限的設定意味著不需要測度論。
- 為教學而寫。 本書源自專業碩士學程，根據出版社的介紹，它既提供結果的精確陳述、合理性論證與部分證明，也提供在課堂上反覆琢磨的直觀解釋。每章都有摘要、註記與習題。
- 精簡而聚焦。 不到 190 頁就涵蓋定價、避險、美式選擇權、隨機漫步與利率模型，因此用一個學期的一部分時間就能讀完整卷。
局限
- 不是自成一體的財務數學教材。 本卷按設計是為第二卷做準備；布朗運動與連續時間理論屬於第二卷，不在本卷之中。
- 只有離散時間。 所有模型都是二元樹，因此除了第5章的隨機漫步之外，讀者在這裡學不到連續時間過程。
在課程中的定位
在本課程中，本書是銜接一般隨機過程與連續時間財務的橋梁。Robert Dobrow 的 Introduction to Stochastic Processes with R 與 Sheldon Ross 的 Introduction to Probability Models 提供馬可夫鏈、卜瓦松過程與布朗運動方面較廣的背景；修過機率課的學生都可以把 Shreve 與它們同時閱讀，也可以在讀完 Dobrow 第8章關於鞅的內容後接著讀。
讀完 Shreve 之後，就輪到連續時間的教科書。Lamberton 與 Lapeyre 的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance 以及 Tomas Björk 的 Arbitrage Theory in Continuous Time 以隨機微積分展開選擇權定價，Björk 也是從離散時間模型講起；Bernt Øksendal 的 Stochastic Differential Equations 則嚴謹地處理伊藤微積分背後的數學。Sidney Resnick 的 Adventures in Stochastic Processes 是對隨機過程的嚴謹一般性論述，適合在學財務之前或之後想多學一些機率論的讀者。Shreve 自己的第二卷是最直接的續篇，但不在本課程書單中。
如何使用本書
本書適合修過微積分與一門機率入門課的數理財務、財務工程、數學或經濟系高年級大學生與碩士生。出版社把微積分與以微積分為基礎的機率論列為背景要求，財務方面的內容則從二項模型本身建立起來。
閱讀計畫：
- 核心： 完整閱讀第1章與第2章。第1章提出全書賴以成立的複製論證；第2章提供機率語言，其中關於條件期望值與鞅的各節是全書最重要的部分。
- 其次： 第3章談 Radon–Nikodým 導數過程，預先引入連續時間中反覆使用的測度變換；第4章談美式衍生性商品與停止時間。
- 接著： 第5章為學習布朗運動做準備，第6章供對固定收益有興趣的學生閱讀。
- 視需要： 關於條件期望值性質的附錄，供想看證明的讀者參考。
先手算一些小型二元樹，直到以複製方法定價駕輕就熟，再寫一個簡短的程式替多期二元樹中的選擇權定價。做習題之前先用每章摘要檢查自己的理解，並為每個概念做筆記，因為它們都會在連續時間中再度出現。