確率微分方程式：応用を伴う入門

引用

Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (6th ed.). Springer.

章の要約

本書は、ブラウン運動に駆動される確率微分方程式の理論を完全な証明つきで展開し、それをフィルタリング、偏微分方程式の境界値問題、最適停止、確率制御、数理ファイナンスといった一連の問題に応用する。本書は6つの版を重ね、各版はzbMATHで版が拡充されるごとに書評された。第6版は12章からなり、付録、演習問題の一部の解答とヒント、参考文献、記号一覧が付く。最初の8章が理論の中核で、第9～12章が応用である。

第1章：序論

本書が解く問題を紹介する5ページの導入の章。例として、変動する環境での人口増加、ノイズを含む入力をもつ電気回路、オプション価格付けが挙がる。

第2章：数学的準備

確率空間、確率変数、確率過程、そしてブラウン運動の構成と基本的な性質。14ページと簡潔な復習であり、測度論的確率論の講義ではない。

第3章：伊藤積分

ブラウン運動に関する伊藤積分の構成、その性質と拡張。以後のすべての基礎となる。

第4章：伊藤の公式とマルチンゲール表現定理

連鎖律の確率版である伊藤の公式を一次元と多次元で扱い、続いてマルチンゲール表現定理を扱う。

第5章：確率微分方程式

例と解法、存在と一意性の定理、強解と弱解の区別。

第6章：フィルタリング問題

ノイズを含む観測からシステムの状態を推定する。線形フィルタリング問題とカルマン–ビューシー・フィルタを扱う。

第7章：拡散過程：基本的性質

伊藤拡散のマルコフ性と強マルコフ性、その生成作用素、ディンキンの公式。

第8章：拡散過程論のその他の話題

拡散過程のさらなる道具として、コルモゴロフの後ろ向き方程式、ファインマン–カッツの公式、ランダムな時間変更、ギルサノフ変換を扱う。

第9～10章：境界値問題への応用、最適停止への応用

第9章は偏微分方程式のディリクレ問題とポアソン問題の確率的な解を与える。第10章は変分不等式による扱いを含む最適停止問題を扱う。

第11～12章：確率制御への応用、数理ファイナンスへの応用

第11章は制御問題を確率微分方程式で定式化し、ハミルトン–ヤコビ–ベルマン方程式を用いる。第12章はブラウン運動に駆動される金融市場に理論を応用し、完備市場と達成可能なオプションの価格付けを扱う。

付録

付録は、正規確率変数、条件付き期待値、一様可積分性とマルチンゲール収束、近似に関する結果を扱う。

主要概念

第2～5章：確率解析

• ブラウン運動：本書の方程式を駆動する連続なランダムな経路。
• 伊藤積分：ブラウン運動に関する積分で、適切に非先見的な被積分関数に対して定義される。
• 伊藤の公式：伊藤過程の関数に対する変数変換の規則。
• 強解と弱解：確率微分方程式を解くとはどういうことかについての二つの概念。

第6～8章：フィルタリングと拡散過程

• カルマン–ビューシー・フィルタ：ノイズを含む観測から線形システムを推定する最適な推定量。
• 生成作用素とディンキンの公式：拡散過程を偏微分方程式に結びつける道具。
• ギルサノフ変換：拡散過程のドリフトを変える測度変換。

第9～12章：応用

• ディリクレ問題とポアソン問題：拡散過程で表される古典的な境界値問題。
• 最適停止と確率制御：期待報酬を最適にする停止時刻や制御を選ぶ問題で、ハミルトン–ヤコビ–ベルマン方程式を伴う。
• オプション価格付け：ブラウン運動の市場における金融商品の評価。

批判的分析

長所

• 厳密さと入りやすさの両立。 zbMATHで第6版を評したエヴェリン・ブックヴァーは、記述が広い読者に読みやすいことと数学的な厳密さとのあいだでうまく均衡しており、証明が完全だと述べ、応用確率微分方程式の大学院課程の第一選択だと評している。
• 幅広い応用。 一冊で、伊藤積分からフィルタリング、境界値問題、最適停止、制御、ファイナンスまで進める。以前の書評も同じ組み合わせを述べている。マンフレート・ブレーガーは第3版を、序文に掲げた計画をやり遂げた優れた初等的入門だと評した。
• 独習への支え。 演習問題の一部の解答とヒントが（約30ページ）収められており、ブックヴァーは、多くの演習の詳しい解答のおかげで第6版が独習にも有用だと指摘している。
• 6つの版を通じた洗練。 書評者は本書の成長を記録している。後の版では、マルチンゲール表現、変分不等式による最適停止、数理ファイナンスの章が加えられた。

短所

• 前提が重い。 準備の章は短く、条件付き期待値とマルチンゲール収束についての付録は、本文が使うものを補うために存在する。測度論的確率論の講義を受けていない読者は、先に準備が必要である。
• ブラウン運動の枠組み。 理論はブラウン運動の上に築かれており、セミマルチンゲールやジャンプ過程の一般的な扱いではない。
• ファイナンスは1章のみ。 数理ファイナンスは第12章だけなので、ファイナンスを主眼にしたい読者には専用の教科書が必要である。
• 応用の扱いは簡潔。 各応用の章は、広い分野（制御、最適停止、偏微分方程式）への短い入門であり、深く学ぶには追加の読書が必要である。

コースにおける位置づけ

本書は、確率過程のコースで確率解析寄りの部分の中心となる教科書である。シェルドン・ロスの Introduction to Probability Models とロバート・ドブロウの Introduction to Stochastic Processes with R はマルコフ連鎖とポアソン過程を扱って先に読むもので、ドブロウは確率解析の入門的な一瞥で終わる。スティーブン・シュリーヴの Stochastic Calculus for Finance I は測度論なしで二項モデルを用いて離散時間で考え方を築き、エクセンダールの前の橋渡しとして役立つ。シドニー・レズニックの Adventures in Stochastic Processes は、マルコフ連鎖、再生過程、点過程、ブラウン運動、ランダムウォークを扱う。

ファイナンスについては、トマス・ビョルクの Arbitrage Theory in Continuous Time とランベルトンとラプレールの Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance が、エクセンダールの1章よりずっと多くを価格付けと裁定に割いており、併読書や次の読書として自然である。デイヴィッド・ウィリアムズの Probability with Martingales は、測度論的確率論の準備として適している。

本書の使い方

対象は、確率論、統計学とその関連分野の大学院生、および確率論の強い素養をもつ読者である。実解析、条件付き期待値とマルチンゲールの水準の確率論、微分方程式への多少の習熟が必要で、第9章は偏微分方程式にも依拠する。

第1章と第2章は素早く読み、第3～5章は丁寧に読む。伊藤積分、伊藤の公式、存在と一意性の定理が中核だからである。第7章と第8章は応用が使う拡散過程の道具立てを導入する。その後は、関心に応じて第6章と第9～12章から選ぶ。フィルタリングと制御、境界値問題、あるいはファイナンスのための第12章などである。条件付き期待値やマルチンゲール収束が必要になったら、付録を参照する。

演習問題を解き、巻末の解答とヒントで確認する。