01 / 導讀
導讀
引用
Ross, S. M. (2023). Introduction to Probability Models (13th ed.). Academic Press (Elsevier).
章節概要
第13版共13章，約870頁。出版社說它保持了自1972年以來學生和教授所依賴的結構，並列出了關於鞅的新內容。第1–11章沿用早期版本的章名，第12章（耦合）在第12版中加入，第13章（鞅）是新的。下面節一級的細節依據出版社公開的第10版目錄和序言；現行版本已經修訂，個別小節可能有所不同。
第1章：機率論導引
給出公理化框架：樣本空間與事件、定義在事件上的機率、條件機率、獨立事件和貝氏公式。
第2章：隨機變數
引入離散型隨機變數（伯努利、二項、幾何、卜瓦松）和連續型隨機變數（均勻、指數、伽馬、常態）、期望值、聯合分佈的隨機變數與共變異數、動差生成函數、極限定理，以及對隨機過程的初步介紹。
第3章：條件機率與條件期望值
展開條件化，序言稱之為這門學科的關鍵工具之一，並在全書中反覆強調。內容包括離散與連續情形，通過條件化計算期望值、變異數和機率，以及列表模型、隨機圖和波利亞罈子等應用。
第4章：馬可夫鏈
第一個隨機過程：查普曼–柯爾莫哥洛夫方程、狀態分類、極限機率、賭徒破產問題、分支過程、時間可逆性、馬可夫鏈蒙特卡洛方法、馬可夫決策過程和隱馬可夫鏈。
第5章：指數分佈與卜瓦松過程
研究指數分佈及其性質，然後是卜瓦松過程（定義、到達間隔與等待時間、到達時刻的條件分佈）及其推廣：非齊次、複合和混合卜瓦松過程。
第6章：連續時間馬可夫鏈
連續時間的馬可夫鏈，重點是生滅模型、轉移機率函數、極限機率、時間可逆性和均勻化。
第7章：更新理論及其應用
比卜瓦松過程更一般的計數過程：N(t)的分佈、極限定理、更新報酬過程與再生過程、半馬可夫過程、檢驗悖論、模式以及保險破產問題。
第8–9章：排隊理論；可靠性理論
排隊理論包括成本恆等式、指數模型、排隊網路、M/G/1與G/M/1系統以及多服務檯排隊。可靠性理論包括結構函數、最小路徑集與最小割集、可靠性的界、作為部件壽命函數的系統壽命，以及帶修復的系統。
第10–11章：布朗運動與平穩過程；模擬
第10章講布朗運動及其變形、期權定價、導向布萊克–斯科爾斯公式的套利定理、白噪聲、高斯過程與平穩過程。第11章講隨機變數的生成（逆變換法、拒絕法、別名法）、隨機過程的模擬、變異數縮減（對偶變數、控制變數、重要性抽樣），以及從平穩分佈中生成樣本。
第12–13章：耦合；鞅
第12章是第12版新增的一章，The Mathematical Gazette 的書評稱之為關於耦合與隨機序的簡短一章。關於鞅的第13章是出版社為第13版列出的新內容。
核心概念
第1–3章：機率與條件化
- 條件期望值：給定資訊下變數的平平均值，用來分階段計算期望值、變異數和機率。
- 動差生成函數：處理獨立隨機變數之和以及極限定理的工具。
第4–7章：馬可夫鏈、卜瓦松過程與更新過程
- 馬可夫鏈：下一個狀態只依賴於當前狀態的過程，通過狀態分類和極限機率來研究。
- 卜瓦松過程：到達間隔服從指數分佈的隨機到達。
- 更新過程：到達間隔獨立同分布的計數過程，比卜瓦松過程更一般。
第8–11章：應用模型
- 排隊系統：用成本恆等式和穩態機率分析顧客、服務檯和佇列。
- 結構函數：可靠性中從部件狀態到系統狀態的對映。
- 布朗運動與布萊克–斯科爾斯公式：一個連續時間模型及其在期權定價中的應用。
- 模擬與變異數縮減：生成隨機變數，並使估計更有效率。
第12–13章：耦合與鞅
- 耦合：把隨機變數構造在同一個機率空間上以比較它們的分佈，與隨機序相關。
- 鞅：在給定過去的條件下，下一個值的期望值等於當前值的過程。
評析
優點
- 一冊之中的廣度。 內容從初等機率出發，經過馬可夫鏈、卜瓦松過程、更新理論、排隊、可靠性、布朗運動、模擬，到如今的耦合與鞅。出版社把它定位為適合從本科到研究生各層次課程的單一資料。
- 以條件化為組織思想。 第10版的序言強調條件化是貫穿全書的關鍵工具，第3章在隨機過程開始之前專門講它。
- 適合多種課程。 序言建議的用法有：一年的機率模型課程；用第1–3章和其他章節的一部分開設的一學期機率論導引；或初等隨機過程課程。序言還描述了把第5、8章加上第4、6章的一部分用於排隊理論課程。
- 大量習題與部分解答。 The Mathematical Gazette對第12版的書評指出，各章以篇幅很長的習題結束，通常遠多於30道，有時超過80道，少數帶星號的習題在書末有解答，另有免費的教師手冊提供全部解答。
局限
- 嚴格性水平較非形式。 第10版的序言說，本書採用啟發式、不嚴格的方法，而不是測度論。Gazette補充說，收斂定理基本被忽略，沒有提到σ代數，也沒有討論建模假設。需要嚴格基礎的學生需要一本基於測度論的教材。
- 篇幅。 約870頁對一門課來說很長，同一篇關於第12版的書評稱其篇幅和分量有些令人生畏；課程必須挑選章節。
- 索引以數學為中心。 據Gazette所說，索引主要是關於數學而不是應用，所以按名稱查詢某個應用可能比較困難。
- 解答有限。 書中只有帶星號的習題有解答；完整的解答手冊提供給採用本書的教師。
- 後來增加的章節。 耦合與鞅是最近兩個版本新增的，第12章被描述為簡短，所以想深入瞭解其中任何一個主題的讀者需要專門的書。
在課程中的定位
在本站的隨機過程書籍中，Ross是一本涵蓋面廣、主要基於微積分的應用機率模型概覽。Dobrow的 Introduction to Stochastic Processes with R 是更接近的本科替代選擇，它把馬可夫鏈、卜瓦松過程和布朗運動與R語言的模擬結合起來。Resnick的 Adventures in Stochastic Processes 以更嚴格的數學方式處理相近的材料。
面向金融的書從第10章停下的地方接著講。Shreve的 Stochastic Calculus for Finance I 在離散時間中、不借助測度論地展開條件期望值、鞅和測度變換，Lamberton和Lapeyre的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance、Björk的 Arbitrage Theory in Continuous Time 以及Øksendal的 Stochastic Differential Equations 則在更高的水平上處理連續時間的隨機分析和套利定價。
如何使用本書
出版社把讀者群描述為學習機率建模課程的各類背景的本科生，通常在數學或統計系。本站列出的先修條件是基於微積分的機率課程，不過第10版的序言把第1–3章視為機率論本身的一學期導引。
一個實用的計畫如下：
- 核心： 第1–3章（如果熟悉機率則略讀），然後是關於馬可夫鏈、卜瓦松過程、連續時間鏈和更新理論的第4–7章。
- 按興趣選讀： 排隊讀第8章，可靠性讀第9章，金融與布朗運動讀第10章，模擬讀第11章，耦合與鞅讀第12、13章。
- 習題： 先做帶星號的習題，用書末的解答核對，然後再做其餘的題目。