01 / 导读
导读
引用
Shreve, S. E. (2005). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer. Springer Finance.
章节概要
本书是两卷本中的第一卷，源自卡内基梅隆大学计算金融专业硕士项目最初十年的教学。篇幅很短，不到 190 页：六章正文，加上一篇证明条件期望基本性质的附录。出版社直白地说明了本卷的目的：二项资产定价模型主要是作为一种工具，在简单的情形下引入第二卷连续时间理论所需的概念。每章都以小结、注记和经过课堂检验的习题结束，习题中有的拓展理论，有的取自量化金融的实际问题。
第1章：二项无套利定价模型
本章建立股票价格的二项模型，说明如何用无套利原理为衍生证券定价，并逐步推进到多期二项模型。随后是一节关于计算方面的考虑。
第2章：硬币抛掷空间上的概率论
在驱动二项模型的有限硬币抛掷结果空间上，展开全书其余部分所需的概率论：随机变量、分布与期望、条件期望、鞅和马尔可夫过程。由于空间是有限的，这些概念无需测度论即可定义和使用；条件期望的基本性质在附录中证明。
第3章：状态价格
本章引入连接实际概率测度与风险中性测度的 Radon–Nikodým 导数过程，并展开状态价格，其中有一节讨论资本资产定价模型。
第4章：美式衍生证券
讨论可以提前行权的衍生品。本章先讨论非路径依赖的美式衍生品，再引入停时并处理一般的美式衍生品，最后讨论美式看涨期权。
第5章：随机游走
把对称随机游走当作布朗运动的离散前身：首达时、反射原理，以及专门讨论一个详细例子的一节。
第6章：利率相关资产
把二项框架应用于利率：利率二项模型、固定收益衍生品、远期测度和期货。
核心概念
第1–2章：硬币抛掷空间上的定价与概率
- 无套利定价：衍生品的价格等于复制其收益的投资组合的初始资本。
- 风险中性概率测度：使贴现资产价格成为鞅的测度，由此得到风险中性定价公式。
- 条件期望：在已观察到的硬币抛掷结果下，对一个随机量的最佳估计，是全书的核心工具。
- 鞅与马尔可夫过程：没有预期漂移的过程，以及未来只依赖当前状态的过程。
第3–4章：测度变换与提前行权
- Radon–Nikodým 导数过程：把实际测度下的期望转换为风险中性测度下的期望的过程。
- 状态价格：在未来某一个结果下才支付的款项在今天的价值。
- 停时：只由当前已有信息决定的随机时刻，用来描述美式期权何时行权。
第5–6章：随机游走与利率
- 首达时与反射原理：随机游走首次到达某一水平的时刻，以及用来计算其分布的对称性论证。
- 远期测度：适合为未来某一固定日期的支付定价的测度变换。
- 期货与远期合约：在二项模型中定价的利率相关合约。
评析
优点
- 每个关键概念都在最简单的情形中出现。 条件期望、鞅、马尔可夫过程、测度变换和停时都出现在有限的硬币抛掷空间上，可以手工计算。读者在第二卷的连续时间框架中再次遇到它们时，已经理解其含义。
- 先修要求不高。 出版社说明，这些内容曾用于只具备微积分和基于微积分的概率论背景的学生；有限的设定意味着不需要测度论。
- 为教学而写。 本书源自专业硕士项目，据出版社介绍，它既给出结果的精确陈述、合理性论证和部分证明，也提供在课堂上反复打磨的直观解释。每章都有小结、注记和习题。
- 短小而集中。 不到 190 页就涵盖了定价、对冲、美式期权、随机游走和利率模型，因此用一个学期的一部分时间就能学完整卷。
局限
- 不是自成一体的金融数学教材。 本卷按设计是为第二卷做准备的；布朗运动和连续时间理论属于第二卷，不在本卷之中。
- 只有离散时间。 所有模型都是二叉树，因此除了第5章的随机游走之外，读者在这里学不到连续时间过程的内容。
在课程中的定位
在本课程中，本书是连接一般随机过程与连续时间金融的桥梁。Robert Dobrow 的 Introduction to Stochastic Processes with R 和 Sheldon Ross 的 Introduction to Probability Models 提供马尔可夫链、泊松过程和布朗运动方面更广的背景；修过概率课的学生都可以把 Shreve 与它们同时阅读，也可以在读完 Dobrow 第8章关于鞅的内容后紧接着读。
读完 Shreve 之后，就轮到连续时间的教材了。Lamberton 和 Lapeyre 的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance 以及 Tomas Björk 的 Arbitrage Theory in Continuous Time 用随机微积分展开期权定价，Björk 也是从离散时间模型讲起；Bernt Øksendal 的 Stochastic Differential Equations 严格地讲述伊藤微积分背后的数学。Sidney Resnick 的 Adventures in Stochastic Processes 是对随机过程的严格一般性论述，适合在学金融之前或之后想多学一些概率论的读者。Shreve 自己的第二卷是最直接的续篇，但不在本课程书单中。
如何使用本书
本书适合修过微积分和一门概率入门课的数理金融、金融工程、数学或经济学高年级本科生和硕士生。出版社把微积分和基于微积分的概率论列为背景要求，金融方面的内容则从二项模型本身建立起来。
阅读计划：
- 核心： 完整阅读第1章和第2章。第1章给出全书赖以成立的复制论证；第2章提供概率语言，其中关于条件期望和鞅的各节是全书最重要的部分。
- 其次： 第3章讲 Radon–Nikodým 导数过程，预先引入连续时间中反复使用的测度变换；第4章讲美式衍生品与停时。
- 然后： 第5章为学习布朗运动做准备，第6章供对固定收益感兴趣的学生阅读。
- 按需阅读： 关于条件期望性质的附录，供想看证明的读者使用。
先手算一些小型二叉树，直到用复制方法定价成为家常便饭，然后写一个简短的程序，为多期二叉树中的期权定价。做习题之前先用每章小结检查自己的理解，并为每个概念做好笔记，因为它们都会在连续时间中再次出现。