Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model（ファイナンスのための確率解析 I：二項資産価格モデル）

引用

Shreve, S. E. (2005). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer. Springer Finance.

章の要約

本書は、カーネギーメロン大学の計算ファイナンス専門修士課程の最初の10年間から生まれた2巻本の第1巻である。190ページ足らずと短く、6つの章と、条件付き期待値の基本性質を証明する付録からなる。出版社は本巻の目的を率直に述べている。二項資産価格モデルは主として、第II巻の連続時間の理論に必要な概念を単純な設定で導入するための手段として示される、というのである。各章は要約、注、そして授業で試された演習で終わり、演習には理論を拡張するものと、計量ファイナンスの実際の問題からとられたものがある。

第1章：二項無裁定価格モデル

株価の二項モデルを組み立て、デリバティブ証券が無裁定によってどのように価格づけされるかを示し、多期間の二項モデルへと進む。続いて計算上の考慮についての節がある。

第2章：コイン投げ空間上の確率論

本書の残りに必要な確率論を、二項モデルを動かすコイン投げの結果からなる有限の空間の上で展開する。確率変数、分布と期待値、条件付き期待値、マルチンゲール、マルコフ過程である。空間が有限なので、これらの概念は測度論なしで定義し使うことができる。条件付き期待値の基本性質は付録で証明される。

第3章：状態価格

実際の確率測度とリスク中立測度を結ぶラドン–ニコディム微分過程を導入し、状態価格を展開する。資本資産価格モデル（CAPM）の節も含む。

第4章：アメリカン型デリバティブ証券

早期行使ができるデリバティブを扱う。まず経路に依存しないアメリカン型デリバティブを扱い、次に停止時刻を導入して一般のアメリカン型デリバティブを扱い、アメリカン・コール・オプションで終わる。

第5章：ランダムウォーク

ブラウン運動の離散的な先駆けとしての対称ランダムウォークを扱う。初到達時刻、鏡像原理、そして1つの例を詳しく扱う節からなる。

第6章：金利に依存する資産

二項の枠組みを金利に適用する。金利の二項モデル、債券（フィクスト・インカム）デリバティブ、フォワード測度、先物である。

主要概念

第1–2章：コイン投げ空間上の価格づけと確率

• 無裁定価格づけ：デリバティブの価格は、そのペイオフを複製するポートフォリオの初期資本である。
• リスク中立確率測度：割り引いた資産価格がマルチンゲールになる測度で、リスク中立価格公式を与える。
• 条件付き期待値：それまでに観測されたコイン投げが与えられたときの、確率的な量の最良の推定値。本書の中心的な道具である。
• マルチンゲールとマルコフ過程：期待される変化（ドリフト）のない過程と、将来が現在の状態だけに依存する過程。

第3–4章：測度変換と早期行使

• ラドン–ニコディム微分過程：実際の測度のもとでの期待値をリスク中立測度のもとでの期待値に変換する過程。
• 状態価格：将来のただ1つの結果においてなされる支払いの、現在における価値。
• 停止時刻：それまでに得られた情報だけで決まるランダムな時刻で、アメリカン・オプションがいつ行使されるかを記述するのに使われる。

第5–6章：ランダムウォークと金利

• 初到達時刻と鏡像原理：ランダムウォークがある水準に初めて達する時刻と、その分布を計算するのに使われる対称性の議論。
• フォワード測度：将来の決まった日付の支払いを価格づけするのに適した測度変換。
• 先物とフォワード契約：二項モデルの中で価格づけされる、金利に依存する契約。

批判的分析

長所

• すべての重要な概念を最も単純な設定で。 条件付き期待値、マルチンゲール、マルコフ過程、測度変換、停止時刻がすべて、手で計算できる有限のコイン投げ空間の上に現れる。読者は第II巻の連続時間でそれらに再会するとき、すでにその意味を知っている。
• 控えめな前提知識。 出版社によれば、本書の内容は微積分と微積分を用いる確率論の素養をもつ学生に使われてきた。有限の設定なので測度論は必要ない。
• 教えるために作られている。 本文は専門修士課程から生まれたもので、出版社によれば、結果の正確な述べ方、もっともらしさの議論、いくつかの証明を示し、授業で練り上げられた直観的な説明を添えている。各章に要約、注、演習がある。
• 短く焦点が絞られている。 190ページ足らずで、価格づけ、ヘッジ、アメリカン・オプション、ランダムウォーク、金利モデルを扱うので、1学期の一部で本巻全体をやり通せる。

短所

• それだけで完結した金融数学の解説ではない。 本巻は設計上、第II巻への準備である。ブラウン運動と連続時間の理論は第2巻に属し、本巻には含まれない。
• 離散時間のみ。 すべてのモデルは二項ツリーなので、第5章のランダムウォークを除けば、連続時間の過程についてはここでは何も学べない。

コースにおける位置づけ

このコースの中で本書は、一般的な確率過程と連続時間ファイナンスをつなぐ橋である。Robert Dobrow の Introduction to Stochastic Processes with R と Sheldon Ross の Introduction to Probability Models は、マルコフ連鎖、ポアソン過程、ブラウン運動についてのより広い背景を与える。Shreve は、確率論の授業を受けた学生なら誰でもそれらと並行して読めるし、Dobrow の第8章のマルチンゲールの内容の直後に読むこともできる。

Shreve のあとは連続時間の本の出番である。Lamberton と Lapeyre の Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance と Tomas Björk の Arbitrage Theory in Continuous Time は、確率解析を用いてオプション価格づけを展開し、Björk も離散時間モデルから出発する。Bernt Øksendal の Stochastic Differential Equations は、伊藤解析の基礎となる数学を厳密に扱う。Sidney Resnick の Adventures in Stochastic Processes は確率過程の厳密な一般的扱いで、ファイナンスの前後にさらに確率論を学びたい人に向いている。最も直接的な続編は Shreve 自身の第II巻だが、このコースのリストには含まれていない。

本書の使い方

本書は、微積分と確率論の最初の授業を履修した、数理ファイナンス、金融工学、数学、経済学の学部上級生と修士課程の学生に適している。出版社は前提として微積分と微積分を用いる確率論を挙げており、ファイナンスの内容は二項モデルそのものから組み立てられる。

読書計画：

• 中核： 第1章と第2章をすべて。第1章はすべての土台となる複製の議論を示し、第2章は確率の言葉を与える。その条件付き期待値とマルチンゲールの節は本書で最も重要な部分である。
• 次に： 連続時間で絶えず使われる測度変換を先取りするラドン–ニコディム微分過程の第3章と、アメリカン型デリバティブと停止時刻の第4章。
• そのあと： ブラウン運動への準備としての第5章と、債券に関心のある学生向けの第6章。
• 必要に応じて： 証明を知りたい読者のための、条件付き期待値の性質に関する付録。

複製による価格づけが自然にできるようになるまで小さな二項ツリーを手で解き、それから多期間ツリーでオプションの価格を計算する短いプログラムを書くとよい。演習に取り組む前に章の要約で理解を確かめ、各概念について、連続時間で再び現れることを念頭にノートをとっておくこと。