实分析导论

引用

Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). John Wiley & Sons.

章节概要

第1章：Preliminaries

三节提供工作用的词汇：集合与函数、数学归纳法、有限集与无限集。关于逻辑与证明的附录A和关于有限集与可数集的附录B为这部分内容提供支撑。

第2章：The Real Numbers

本章从实数的性质出发构建实数轴：代数性质与序性质、绝对值与实数轴、完备性。随后一节讲确界性质的应用，一节讲区间，本章到此结束。

第3章：Sequences and Series

数列及其极限、极限定理、单调数列、子列与波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理、柯西准则以及真发散数列构成前六节。最后一节是无穷级数导论，把级数紧接在数列之后。

第4章：Limits

函数的极限、相应的极限定理以及极限概念的若干推广，为连续性做准备。

第5章：Continuous Functions

连续性和连续函数的组合，引出区间上的连续函数、一致连续性，以及少见的“连续性与规范”（gauge）。本章以单调函数与反函数结束。

第6章：Differentiation

导数、中值定理、洛必达法则和泰勒定理。

第7章：The Riemann Integral

黎曼积分、黎曼可积函数、基本定理、达布积分和近似积分。

第8章：Sequences of Functions

首先是逐点收敛与一致收敛，以及极限的交换。指数函数和对数函数，接着是三角函数，在这一框架下展开。

第9章：Infinite Series

绝对收敛、绝对收敛与非绝对收敛的判别法，以及函数项级数。

第10章：The Generalized Riemann Integral

规范积分（广义黎曼积分）：其定义与主要性质、与反常积分和勒贝格积分的关系、无穷区间以及收敛定理。

第11章：A Glimpse into Topology

R 中的开集与闭集、紧集、这一背景下的连续函数以及度量空间。

附录

附录A讲逻辑与证明，B讲有限集与可数集，C讲黎曼与勒贝格判别准则，D讲近似积分，E给出两个例子。部分习题的提示占据索引之前最后二十多页。

核心概念

第1–2章：预备知识与实数

• 数学归纳法：证明关于自然数的命题的方法。
• 完备性（确界）性质：把实数与有理数区分开的性质。

第3–5章：数列、极限与连续性

• 波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理与柯西准则：断定数列有极限或有收敛子列的两种办法。
• 一致连续性：在整个集合上使用同一个容许误差的连续性。
• 规范（gauge）：把第5章的连续性与第10章的广义积分联系起来的工具。

第6–7章：微分与黎曼积分

• 中值定理与泰勒定理：可微性的主要推论。
• 微积分基本定理与达布积分：微分与积分之间的联系，以及积分的另一种定义。

第8–11章：收敛、广义积分与拓扑

• 一致收敛：使极限能够与连续性、微分和积分交换的条件。
• 广义黎曼积分：包含黎曼积分和勒贝格积分的更强的积分。
• 紧集与度量空间：把理论带出实数轴的拓扑思想。

评析

优点

• 明确的教学思路。 威立介绍说，本书延续前几版的精神，帮助学生进行演绎思考、分析数学情境，并把想法推广到新的情境。
• 基础就在书内。 第1章、附录A（逻辑与证明）和附录B（有限集与可数集）使学生在开始之前不需要另外学一门证明课。
• 井然有序的单变量课程。 顺序从实数到数列、极限、连续、微分、积分，然后是函数列和级数。级数紧跟在数列之后，这是本版的改动。
• 有特色的积分理论。 规范的观点在“连续性与规范”一节中就已出现，并在讲广义黎曼积分的一整章中再次登场，威立指出这一章现在包含勒贝格积分。
• 通向下一门课的桥梁。 最后一章用四节介绍开集、闭集、紧集和度量空间。
• 自学帮助。 部分习题的提示在书末占二十多页。

局限

• 仅限单变量。 内容停留在实数轴上，度量空间只在最后一章略作一瞥。多变量分析、测度论和复分析都不涉及。
• 只有提示而无完整解答。 书末提供的是部分习题的提示，所以自学者无法核对完整的论证。
• 后面的章节较专门。 广义黎曼积分（第10章）和拓扑（第11章）安排在九章核心内容之后。需要对勒贝格积分作标准测度论处理的读者，仍需另一本书。

在课程中的定位

在实分析书单中，巴特尔与舍伯特是第一门严格分析课程的全面而传统的教材。奥尔科克的 How to Think About Analysis 是一本学习指南，讲解如何阅读定义和构造证明，适合作为刚开始读本书的学生的配套读物。伯恩的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 几乎完全通过精心排序的问题来教学。阿博特的 Understanding Analysis 是第一门严格课程的教材，每章以引发动机的讨论开始，以一个项目结束。布莱恩特的 Yet Another Introduction to Analysis 是书单上的另一本入门书。

若要更高要求的处理，鲁丁的 Principles of Mathematical Analysis 行文简练，涵盖度量空间、多元函数和勒贝格积分。巴特尔与舍伯特是通往同样的单变量内容的较温和的路径，也是读鲁丁之前的自然准备。

如何使用本书

本书面向修读分析学第一门以证明为主的课程的数学、理科和工程专业学生，读者应当已学完单变量微积分。

一学期的课程通常讲第1至7章：按需使用第1章和附录，然后依次学习第2至7章。第二学期继续第8、9章，再根据兴趣选第10章或第11章。第11章是通向拓扑或度量空间分析的好桥梁；第10章适合对积分理论感兴趣的人。

要做习题，尤其是每节前面的题目，认真尝试之后再对照提示。对于过渡到证明有困难的学生，在读第2至5章时同时读奥尔科克会有帮助。