実解析入門

引用

Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). John Wiley & Sons.

章の要約

第1章：Preliminaries

三つの節が作業用の語彙を与える。集合と写像、数学的帰納法、有限集合と無限集合である。論理と証明についての付録 A と、有限集合と可算集合についての付録 B がこの内容を支える。

第2章：The Real Numbers

この章は実数直線をその性質から組み立てる。代数的性質と順序の性質、絶対値と実数直線、完備性である。上限の性質の応用を扱う節と区間の節で章が終わる。

第3章：Sequences and Series

数列とその極限、極限の定理、単調数列、部分列とボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理、コーシーの判定条件、真に発散する数列が最初の六つの節をなす。最後の節は無限級数の入門で、級数は数列の直後に置かれる。

第4章：Limits

関数の極限、その極限の定理、極限概念のいくつかの拡張が、連続性への準備となる。

第5章：Continuous Functions

連続性と連続関数の組合せから、区間上の連続関数、一様連続性、そして珍しいことにゲージと連続性へと進む。章末は単調関数と逆関数である。

第6章：Differentiation

導関数、平均値の定理、ロピタルの定理、テイラーの定理。

第7章：The Riemann Integral

リーマン積分、リーマン可積分な関数、基本定理、ダルブー積分、近似積分。

第8章：Sequences of Functions

各点収束と一様収束、極限の交換が最初に来る。指数関数と対数関数、続いて三角関数が、この枠組みの中で展開される。

第9章：Infinite Series

絶対収束、絶対収束の判定法と非絶対収束の判定法、関数項級数。

第10章：The Generalized Riemann Integral

ゲージ積分（一般化されたリーマン積分）。その定義と主な性質、広義積分およびルベーグ積分との関係、無限区間、収束定理を扱う。

第11章：A Glimpse into Topology

R の開集合と閉集合、コンパクト集合、この設定での連続関数、距離空間。

付録

付録 A は論理と証明、B は有限集合と可算集合、C はリーマンの判定条件とルベーグの判定条件、D は近似積分、E は二つの例を扱う。選択された演習のヒントが、索引の前の最後の20ページあまりを占める。

主要概念

第1–2章：予備知識と実数

• 数学的帰納法：自然数についての命題の証明法。
• 完備性（上限）の性質：実数を有理数から区別する性質。

第3–5章：数列、極限、連続性

• ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理とコーシーの判定条件：数列が極限や収束部分列をもつと結論するための二つの方法。
• 一様連続性：集合全体で通用する一つの許容幅をもつ連続性。
• ゲージ：第5章の連続性と第10章の一般化された積分を結ぶ道具。

第6–7章：微分とリーマン積分

• 平均値の定理とテイラーの定理：微分可能性の主な帰結。
• 微積分学の基本定理とダルブー積分：微分と積分の結びつきと、積分のもう一つの定義。

第8–11章：収束、一般化された積分、位相

• 一様収束：極限を連続性、微分、積分と交換できるようにする条件。
• 一般化されたリーマン積分：リーマン積分とルベーグ積分を含むより強力な積分。
• コンパクト集合と距離空間：理論を実数直線の外へ広げる位相的な考え方。

批判的分析

長所

• 明示された教育方針。 ワイリーは本書を、以前の版の精神にのっとり、学生が演繹的に考え、数学的状況を分析し、考えを新しい文脈に拡張する力を育てるものと説明している。
• 基礎が本の中にある。 第1章、付録 A（論理と証明）、付録 B（有限集合と可算集合）があるので、学生は始める前に別の証明の課程を必要としない。
• 整った1変数の課程。 順序は実数から数列、極限、連続性、微分、積分へ進み、そのあと関数列と級数に至る。級数は数列の直後に導入され、これは今回の版での変更である。
• 特色のある積分論。 ゲージの視点は連続性とゲージの節で早くも現れ、一般化されたリーマン積分の一章で再び登場する。ワイリーは、この章がルベーグ積分を含むようになったと述べている。
• 次の課程への橋渡し。 最終章は、開集合、閉集合、コンパクト集合と距離空間を四つの節で紹介する。
• 独習の助け。 選択された演習のヒントが、巻末で20ページ以上に及ぶ。

短所

• 1変数のみ。 内容は実数直線にとどまり、距離空間は最終章でかいま見るだけである。多変数の解析、測度論、複素解析は扱わない。
• 完全な解答ではなくヒント。 巻末にあるのは選択された演習のヒントなので、独習者は完全な論証を確かめられない。
• 後半の章は専門的。 一般化されたリーマン積分（第10章）と位相（第11章）は、九つの中核的な章のあとに来る。ルベーグ積分の標準的な測度論的扱いを必要とする読者には、やはり別の本が必要になる。

コースにおける位置づけ

バートルとシャーバートは、実解析のリストのなかで、最初の厳密な解析の課程のための包括的で標準的な教科書である。オルコックの How to Think About Analysis は定義の読み方や証明の組み立て方を説明する学習ガイドで、この本を読み始める学生の併読書として適している。バーンの Numbers and Functions: Steps into Analysis は、ほとんど全面的に注意深く順序立てた問題を通して教える。アボットの Understanding Analysis は最初の厳密な課程のための教科書で、各章が動機づけの議論で始まり、プロジェクトで終わる。ブライアントの Yet Another Introduction to Analysis は、リストにあるもう一つの入門書である。

より要求の高い扱いとしては、ルーディンの Principles of Mathematical Analysis が簡潔で、距離空間、多変数の関数、ルベーグ積分を扱う。バートルとシャーバートは、同じ1変数の内容へのより穏やかな道で、ルーディンへの自然な準備になる。

本書の使い方

本書は、解析学の最初の証明中心の課程を取る数学、理科、工学の学生向けで、1変数の微積分を修了していることが望ましい。

1学期の課程では通常第1〜7章を取る。第1章と付録は必要に応じて使い、第2〜7章を順に進める。2学期目は第8章と第9章、そして好みに応じて第10章か第11章に進む。第11章は位相や距離空間の解析へ進む学生にとって良い橋渡しで、第10章は積分論に関心のある人向けである。

演習、とりわけ各節の前半の問題に取り組み、ヒントとの照合は真剣に挑戦したあとにする。証明への移行に苦労する学生は、第2〜5章と並行してオルコックを読むと助けになる。