01 / 导读
导读
引用
Ross, S. M. (2023). Introduction to Probability Models (13th ed.). Academic Press (Elsevier).
章节概要
第13版共13章，约870页。出版社说它保持了自1972年以来学生和教授所依赖的结构，并列出了关于鞅的新内容。第1–11章沿用早期版本的章名，第12章（耦合）在第12版中加入，第13章（鞅）是新的。下面节一级的细节依据出版社公开的第10版目录和序言；现行版本已经修订，个别小节可能有所不同。
第1章：概率论导引
给出公理化框架：样本空间与事件、定义在事件上的概率、条件概率、独立事件和贝叶斯公式。
第2章：随机变量
引入离散型随机变量（伯努利、二项、几何、泊松）和连续型随机变量（均匀、指数、伽马、正态）、期望、联合分布的随机变量与协方差、矩母函数、极限定理，以及对随机过程的初步介绍。
第3章：条件概率与条件期望
展开条件化，序言称之为这门学科的关键工具之一，并在全书中反复强调。内容包括离散与连续情形，通过条件化计算期望、方差和概率，以及列表模型、随机图和波利亚坛子等应用。
第4章：马尔可夫链
第一个随机过程：查普曼–柯尔莫哥洛夫方程、状态分类、极限概率、赌徒破产问题、分支过程、时间可逆性、马尔可夫链蒙特卡洛方法、马尔可夫决策过程和隐马尔可夫链。
第5章：指数分布与泊松过程
研究指数分布及其性质，然后是泊松过程（定义、到达间隔与等待时间、到达时刻的条件分布）及其推广：非齐次、复合和混合泊松过程。
第6章：连续时间马尔可夫链
连续时间的马尔可夫链，重点是生灭模型、转移概率函数、极限概率、时间可逆性和均匀化。
第7章：更新理论及其应用
比泊松过程更一般的计数过程：N(t)的分布、极限定理、更新报酬过程与再生过程、半马尔可夫过程、检验悖论、模式以及保险破产问题。
第8–9章：排队论；可靠性理论
排队论包括成本恒等式、指数模型、排队网络、M/G/1与G/M/1系统以及多服务台排队。可靠性理论包括结构函数、最小路径集与最小割集、可靠性的界、作为部件寿命函数的系统寿命，以及带修复的系统。
第10–11章：布朗运动与平稳过程；模拟
第10章讲布朗运动及其变形、期权定价、导向布莱克–斯科尔斯公式的套利定理、白噪声、高斯过程与平稳过程。第11章讲随机变量的生成（逆变换法、拒绝法、别名法）、随机过程的模拟、方差缩减（对偶变量、控制变量、重要性抽样），以及从平稳分布中生成样本。
第12–13章：耦合；鞅
第12章是第12版新增的一章，The Mathematical Gazette 的书评称之为关于耦合与随机序的简短一章。关于鞅的第13章是出版社为第13版列出的新内容。
核心概念
第1–3章：概率与条件化
- 条件期望：给定信息下变量的平均值，用来分阶段计算期望、方差和概率。
- 矩母函数：处理独立随机变量之和以及极限定理的工具。
第4–7章：马尔可夫链、泊松过程与更新过程
- 马尔可夫链：下一个状态只依赖于当前状态的过程，通过状态分类和极限概率来研究。
- 泊松过程：到达间隔服从指数分布的随机到达。
- 更新过程：到达间隔独立同分布的计数过程，比泊松过程更一般。
第8–11章：应用模型
- 排队系统：用成本恒等式和稳态概率分析顾客、服务台和队列。
- 结构函数：可靠性中从部件状态到系统状态的映射。
- 布朗运动与布莱克–斯科尔斯公式：一个连续时间模型及其在期权定价中的应用。
- 模拟与方差缩减：生成随机变量，并使估计更有效率。
第12–13章：耦合与鞅
- 耦合：把随机变量构造在同一个概率空间上以比较它们的分布，与随机序相关。
- 鞅：在给定过去的条件下，下一个值的期望等于当前值的过程。
评析
优点
- 一册之中的广度。 内容从初等概率出发，经过马尔可夫链、泊松过程、更新理论、排队、可靠性、布朗运动、模拟，到如今的耦合与鞅。出版社把它定位为适合从本科到研究生各层次课程的单一资料。
- 以条件化为组织思想。 第10版的序言强调条件化是贯穿全书的关键工具，第3章在随机过程开始之前专门讲它。
- 适合多种课程。 序言建议的用法有：一年的概率模型课程；用第1–3章和其他章节的一部分开设的一学期概率论导引；或初等随机过程课程。序言还描述了把第5、8章加上第4、6章的一部分用于排队论课程。
- 大量习题与部分解答。 The Mathematical Gazette对第12版的书评指出，各章以篇幅很长的习题结束，通常远多于30道，有时超过80道，少数带星号的习题在书末有解答，另有免费的教师手册提供全部解答。
局限
- 严格性水平较非形式。 第10版的序言说，本书采用启发式、不严格的方法，而不是测度论。Gazette补充说，收敛定理基本被忽略，没有提到σ代数，也没有讨论建模假设。需要严格基础的学生需要一本基于测度论的教材。
- 篇幅。 约870页对一门课来说很长，同一篇关于第12版的书评称其篇幅和分量有些令人生畏；课程必须挑选章节。
- 索引以数学为中心。 据Gazette所说，索引主要是关于数学而不是应用，所以按名称查找某个应用可能比较困难。
- 解答有限。 书中只有带星号的习题有解答；完整的解答手册提供给采用本书的教师。
- 后来增加的章节。 耦合与鞅是最近两个版本新增的，第12章被描述为简短，所以想深入了解其中任何一个主题的读者需要专门的书。
在课程中的定位
在本站的随机过程书籍中，Ross是一本涵盖面广、主要基于微积分的应用概率模型概览。Dobrow的 Introduction to Stochastic Processes with R 是更接近的本科替代选择，它把马尔可夫链、泊松过程和布朗运动与R语言的模拟结合起来。Resnick的 Adventures in Stochastic Processes 以更严格的数学方式处理相近的材料。
面向金融的书从第10章停下的地方接着讲。Shreve的 Stochastic Calculus for Finance I 在离散时间中、不借助测度论地展开条件期望、鞅和测度变换，Lamberton和Lapeyre的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance、Björk的 Arbitrage Theory in Continuous Time 以及Øksendal的 Stochastic Differential Equations 则在更高的水平上处理连续时间的随机分析和套利定价。
如何使用本书
出版社把读者群描述为学习概率建模课程的各类背景的本科生，通常在数学或统计系。本站列出的先修条件是基于微积分的概率课程，不过第10版的序言把第1–3章视为概率论本身的一学期导引。
一个实用的计划如下：
- 核心： 第1–3章（如果熟悉概率则略读），然后是关于马尔可夫链、泊松过程、连续时间链和更新理论的第4–7章。
- 按兴趣选读： 排队读第8章，可靠性读第9章，金融与布朗运动读第10章，模拟读第11章，耦合与鞅读第12、13章。
- 习题： 先做带星号的习题，用书末的解答核对，然后再做其余的题目。