Introduction to Probability Models（確率モデル入門）

引用

Ross, S. M. (2023). Introduction to Probability Models (13th ed.). Academic Press (Elsevier).

章の要約

第13版は13の章からなり、約870ページである。出版社によれば、1972年以来、学生や教員が頼りにしてきた構成を保っており、マルチンゲールの新しい扱いを掲げている。第1–11章は以前の版と同じ章題で、第12章（カップリング）は第12版で加わり、第13章（マルチンゲール）は新しい。以下の節レベルの詳細は、出版社が公開している第10版の目次と序文に基づく。現行版は改訂されているため、個々の節は異なる場合がある。

第1章：確率論入門

公理的な枠組みを示す。標本空間と事象、事象上に定義された確率、条件つき確率、独立な事象、ベイズの公式。

第2章：確率変数

離散型確率変数（ベルヌーイ、二項、幾何、ポアソン）と連続型確率変数（一様、指数、ガンマ、正規）、期待値、同時分布をもつ確率変数と共分散、積率母関数、極限定理、そして確率過程の最初の紹介を導入する。

第3章：条件つき確率と条件つき期待値

条件づけを展開する。序文はこれを、この主題の鍵となる道具の1つとして、全編を通じて強調している。離散型と連続型の場合、条件づけによる期待値、分散、確率の計算、そしてリストのモデル、ランダムグラフ、ポリアの壺のような応用を扱う。

第4章：マルコフ連鎖

最初の確率過程である。チャップマン–コルモゴロフ方程式、状態の分類、極限確率、破産問題（ギャンブラーの破産）、分枝過程、時間可逆性、マルコフ連鎖モンテカルロ法、マルコフ決定過程、隠れマルコフ連鎖。

第5章：指数分布とポアソン過程

指数分布とその性質を調べ、続いてポアソン過程（定義、到着間隔と待ち時間、到着時刻の条件つき分布）と、その一般化である非斉次、複合、混合ポアソン過程を扱う。

第6章：連続時間マルコフ連鎖

連続時間のマルコフ連鎖で、出生死滅モデル、推移確率関数、極限確率、時間可逆性、一様化に重点が置かれる。

第7章：更新理論とその応用

ポアソン過程より一般的な計数過程を扱う。N(t) の分布、極限定理、更新報酬過程と再生過程、セミマルコフ過程、検査のパラドクス、パターン、保険の破産問題。

第8–9章：待ち行列理論、信頼性理論

待ち行列では、コスト恒等式、指数モデル、待ち行列ネットワーク、M/G/1とG/M/1の系、複数窓口の待ち行列を扱う。信頼性では、構造関数、最小パス集合と最小カット集合、信頼度の上下界、構成要素の寿命の関数としてのシステム寿命、修理のあるシステムを扱う。

第10–11章：ブラウン運動と定常過程、シミュレーション

第10章は、ブラウン運動とその変種、オプション価格の決定、ブラック–ショールズの公式に至る裁定定理、ホワイトノイズ、ガウス過程と定常過程を扱う。第11章は、確率変数の生成（逆変換法、棄却法、エイリアス法）、確率過程のシミュレーション、分散減少法（対称変量法、制御変量、重点サンプリング）、定常分布からの生成を扱う。

第12–13章：カップリング、マルチンゲール

第12章は第12版で加わった章で、The Mathematical Gazette の書評はこれをカップリングと確率順序についての短い章と述べている。マルチンゲールについての第13章は、出版社が第13版の新しい内容として掲げているものである。

主要概念

第1–3章：確率と条件づけ

• 条件つき期待値：情報が与えられたもとでの変数の平均で、期待値、分散、確率を段階的に計算するのに使われる。
• 積率母関数：独立な確率変数の和や極限定理のための道具。

第4–7章：マルコフ連鎖、ポアソン過程、更新過程

• マルコフ連鎖：次の状態が現在の状態だけに依存する過程で、状態の分類と極限確率によって調べられる。
• ポアソン過程：指数分布に従う到着間隔をもつランダムな到着。
• 更新過程：到着間隔が独立同分布の計数過程で、ポアソン過程より一般的。

第8–11章：応用のためのモデル

• 待ち行列システム：客、窓口、待ち行列をコスト恒等式と定常確率で解析するもの。
• 構造関数：信頼性理論において、構成要素の状態からシステムの状態への写像。
• ブラウン運動とブラック–ショールズの公式：連続時間のモデルと、そのオプション価格づけへの応用。
• シミュレーションと分散減少：確率変数を生成し、推定を効率化すること。

第12–13章：カップリングとマルチンゲール

• カップリング：確率変数を1つの確率空間の上に構成して、それらの分布を比較すること。確率順序と関連する。
• マルチンゲール：過去が与えられたときの次の値の期待値が、現在の値に等しい過程。

批判的分析

長所

• 1冊での幅広さ。 初等確率から、マルコフ連鎖、ポアソン過程、更新理論、待ち行列、信頼性、ブラウン運動、シミュレーション、そして今ではカップリングとマルチンゲールまで進む。出版社は、学部から大学院までの課程に対応する唯一の資料として提示している。
• 組織原理としての条件づけ。 第10版の序文は条件づけを全編を通じての鍵となる道具として強調しており、確率過程が始まる前に第3章がその専用に当てられている。
• 複数の課程に柔軟。 序文は、確率モデルの1年間の課程、第1–3章と他の章の一部による1学期の確率論入門、あるいは初等的な確率過程の課程を提案し、待ち行列理論には第5章と第8章に第4章・第6章の一部を加えて使う例を述べている。
• 大量の演習と一部の解答。 The Mathematical Gazette の第12版の書評は、各章が、通常30問をはるかに超え、ときには80問を超える長い演習で終わること、星印の付いた少数の演習の解答が巻末にあること、すべての解答を載せた無料の教員用マニュアルがあることを記している。

短所

• 厳密さの水準は非形式的。 第10版の序文は、本書が測度論ではなく、ヒューリスティックで厳密でない方法を採ると述べている。Gazette はさらに、収束定理はほとんど無視され、σ代数には言及がなく、モデル化の仮定は論じられていないと付け加える。厳密な基礎を求める学生には、測度論に基づく教科書が必要である。
• 分量。 約870ページは1つの課程には長く、第12版についての同じ書評は、その長さとかさを多少気後れさせるものと呼んでいる。課程では章を選ぶ必要がある。
• 索引は数学が中心。 Gazette によれば、索引は主として応用ではなく数学についてのものなので、名前から応用を探すのは難しいかもしれない。
• 解答は限られる。 本に解答があるのは星印の付いた演習だけで、完全な解答集は、本を採用した教員に提供される。
• 後から加わった章。 カップリングとマルチンゲールは最近の2つの版で加わったもので、第12章は短いと説明されているので、いずれの話題についても深さを求める読者には専門の本が必要になる。

コースにおける位置づけ

このサイトの確率過程の本のなかで、Ross は応用確率モデルについての、微積分を主に使う広い概観である。Dobrow の Introduction to Stochastic Processes with R は、マルコフ連鎖、ポアソン過程、ブラウン運動をRでのシミュレーションと組み合わせる、より近い学部向けの代替である。Resnick の Adventures in Stochastic Processes は、似た題材をより数学的に厳密に扱う。

金融を志向した本は、第10章が終わるところから引き継ぐ。Shreve の Stochastic Calculus for Finance I は、条件つき期待値、マルチンゲール、測度変換を、測度論なしで離散時間において展開し、Lamberton と Lapeyre の Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance、Björk の Arbitrage Theory in Continuous Time、Øksendal の Stochastic Differential Equations は、連続時間の確率解析と裁定価格理論をより高度な水準で扱う。

本書の使い方

出版社は、読者層を、確率モデルの課程を学ぶ、あらゆる背景の学部生で、通常は数学科や統計学科の学生としている。当サイトは前提条件として、微積分を用いる確率論の課程を挙げているが、第10版の序文は、第1–3章を確率論そのものの1学期の入門として使うことも可能としている。

実用的な計画は次のとおりである。

• 中核： 第1–3章（確率論になじみがあれば読み飛ばす）、続いて、マルコフ連鎖、ポアソン過程、連続時間連鎖、更新理論の第4–7章。
• 関心に応じて： 待ち行列は第8章、信頼性は第9章、金融とブラウン運動は第10章、シミュレーションは第11章、カップリングとマルチンゲールは第12・13章。
• 演習： 星印の付いた演習を先に解き、巻末の解答で確かめ、そのあと残りの問題に取り組む。