Complex Analysis（复分析）

引用

Stewart, I., & Tall, D. (2018). Complex Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

章节概要

全书从第0章开始共有十八章，约380页。剑桥大学出版社介绍说，本书从已确立的实分析理论出发发展复分析，强调复平面更丰富的几何所带来的差异，并用简单的拓扑思想把视觉直觉转化为严格证明。第二版保留了经过订正的原有正文，并新增三章：第15章（无穷小）、第16章（柯西定理的同调版本）和第17章（进一步的方向）。

第0章：The Origins of Complex Analysis, and Its Challenge to Intuition（复分析的起源及其对直觉的挑战）

十二页的历史性开篇：复数的起源、关于其意义的争论、它们在平面上的表示、十九世纪柯西对无穷小的使用，以及魏尔斯特拉斯的分析算术化，它是第一版形式化方法的基础。第二版增加了一种基于含无穷小的扩域的新的形式化方法，本章还提出了视觉直觉与严格性之间的关系。

第1–2章：Algebra of the Complex Plane（复平面的代数）；Topology of the Complex Plane（复平面的拓扑）

第1章把复数定义为带有加法和乘法的实数有序对，涵盖实部与虚部、模、共轭和极坐标，包括复数不能排序的证明。第2章是前几章中最长的一章，共35页，涵盖开集与闭集、极限与连续、路径、连通性与区域，并证明铺砌引理（Paving Lemma）：区域内的一条路径可以被有限个圆盘覆盖，因此区域内任意两点都可以用由水平和竖直线段组成的路径连接。

第3–5章：Power Series（幂级数）；Differentiation（微分）；The Exponential Function（指数函数）

第3章把收敛性从实数推广到复数序列和级数：柯西收敛的一般原理、绝对收敛、比较判别法和比值判别法，以及圆盘内的幂级数。第4章类比实的情形定义导数，并证明幂级数在其收敛圆内无穷次可微，同时与实函数的“糟糕行为”形成对比。第5章把 exp、sin 和 cos 定义为幂级数，并证明欧拉公式、周期性以及相关的三角函数和双曲函数。

第6–7章：Integration（积分）；Angles, Logarithms, and the Winding Number（角度、对数与卷绕数）

第6章详细讨论复积分：围道、沿路径的积分、围道积分基本定理，以及后面的证明要用到的估计引理（Estimation Lemma）。第7章由实幂级数推出辐角，通过辐角的连续选取以及积分来定义路径绕一点的卷绕数，并讨论闭路径补集的连通分支。

第8–9章：Cauchy's Theorem（柯西定理）；Homotopy Versions of Cauchy's Theorem（柯西定理的同伦版本）

第8章对三角形、星形区域以及不绕区域外任何一点的任意路径证明柯西定理，使用局部原函数和沿邻近阶梯路径的积分；还讨论了割线、若尔当围道和单连通区域。第9章给出对边界以及端点固定的同伦路径或闭路径的同伦版本，全部建立在原函数的局部存在性和围道积分基本定理之上。

第10–12章：Taylor Series（泰勒级数）；Laurent Series（洛朗级数）；Residues（留数）

第10章从柯西积分公式证明泰勒级数，并得到莫雷拉定理、柯西估计、刘维尔定理以及代数基本定理的证明，同时讨论零点、函数的延拓和模的局部极值。第11章引入洛朗级数、孤立奇点与本性奇点、黎曼球面以及无穷远处的行为。第12章涵盖留数定理及其在无穷积分、无穷级数和其他习题中的应用。

第13–14章：Conformal Transformations（共形变换）；Analytic Continuation（解析延拓）

第13章讨论导数不为零处函数的共形性质，证明莫比乌斯函数保持圆，并把共形映射应用于二维位势理论、通过柯西–黎曼方程得到的拉普拉斯方程，以及机翼翼型的设计。第14章说明限于圆盘的幂级数如何通过相互重叠的区域延拓，进而得到多值函数和黎曼面，以对数、平方根和复幂为例。

第15–17章：Infinitesimals in Real and Complex Analysis（实分析与复分析中的无穷小）；Homology Version of Cauchy's Theorem（柯西定理的同调版本）；The Road Goes Ever On …（路仍在延伸……）

这是第二版新增的三章。第15章（35页）为含无穷小的实数与复数扩张提供了形式基础，通过放大来可视化，并把它与经典分析、标准分析和非标准分析联系起来。第16章扩展柯西定理的同伦版本，问奇点造成的“洞”如何影响积分；它利用铺砌引理给出的阶梯路径，由矩形之和定义闭链与边界，并证明沿边界的积分为零。第17章是一个八页的概览，说明这门学科已经走向何方、正在走向何方：黎曼猜想、模函数、多复变函数、复流形、复动力系统和分形几何。

核心概念

第0–5章：基础

• 作为有序对的复数：第1章的形式定义，其中乘法对应于把 i 的平方定义为负一。
• 铺砌引理：第2章把路径的图像化为阶梯路径的工具，在第7章和第16章中再次使用。
• 复函数的无穷可微性：第4章与实函数的对比。
• 欧拉公式：exp(z) = cos(z) + i sin(z)，在第5章由幂级数定义证明。

第6–14章：积分与主要定理

• 估计引理：用围道长度和被积函数的最大值给围道积分设界，在后面的证明中使用。
• 卷绕数：第7章中衡量路径绕一点多少圈的量。
• 柯西定理及其各种版本：针对三角形、星形区域、同伦路径（第8–9章）和边界（第16章）。
• 留数、共形映射与黎曼面：第12–14章。

第15–17章：第二版新增内容

• 无穷小：第15章的扩域。
• 闭链与边界：第16章的同调语言。

评析

优点

• 一以贯之的方法。 先发展拓扑（第2章），其铺砌引理在卷绕数（第7章）和同调定理（第16章）中再次出现，因此对路径的直觉成为一种证明技巧，而不是含糊的手势。出版社强调的正是这一策略。
• 对柯西定理的深入处理。 这条定理以三种形式出现：针对三角形和星形区域，并涉及割线和若尔当围道（第8章）；通过同伦（第9章）；以及通过同调（第16章），每一种都建立在局部原函数之上。学生可以看到假设条件是如何一步步减弱的。
• 历史与动机。 第0章在进入技术内容之前，先交代历史背景和直觉与严格性的主题。
• 书中的应用。 第12章用留数计算无穷积分和无穷级数，第13章把共形映射应用于位势理论和机翼设计。

局限

• 很晚才讲到复微分。 微分从第75页才开始，之前有一个35页的拓扑章节，想尽快看到解析函数的学生会觉得开头较慢；拓扑是走严格路线的代价。
• 以实分析为前提。 本书从实分析出发，因此适合已经严格学过极限、序列和级数的学生。
• 非标准内容。 第15章给出无穷小的形式化理论，这一视角与大多数本科课程不同；遵循标准教学大纲的读者可以跳过它，也可以跳过简短的第17章。
• 应用有限。 应用主要是留数计算和用于位势理论的共形映射；例如没有关于傅里叶变换或拉普拉斯变换的章节。

在课程中的定位

Stewart 和 Tall 在本课程书单中介于较易的入门书与研究生阶段的经典之间。Beck、Marchesi、Pixton 和 Sabalka 的《A First Course in Complex Analysis》是一本免费的一学期教材，尽量少依赖实分析，目标是留数定理；Brown 和 Churchill 的《Complex Variables and Applications》是一本兼顾应用的入门书。对没有学过实分析的学生来说，两者都更适合作为初次接触这门学科的读物。Needham 的《Visual Complex Analysis》是几何直觉方面的天然伴读，它通过图像和物理直觉而不是仅靠形式证明来讲同样的思想。Ahlfors 的《Complex Analysis》以及 Stein 和 Shakarchi 的《Complex Analysis》是之后可转向的简洁的研究生教材。

如何使用本书

本书面向已修完实分析第一门课和多变量微积分、希望学习基于证明但有几何动机的复分析的本科生。

实用的学习安排如下：

• 核心（第1–12章）： 按顺序阅读。第2章对初次阅读者来说最陌生，但它的铺砌引理会在第7章和第8章中派上用场。第6–12章承载核心定理：积分、柯西定理及其同伦版本、泰勒级数与洛朗级数，以及留数。
• 应用与延伸（第13–14章）： 共形映射适合对物理或工程感兴趣的人，解析延拓则通向黎曼面。
• 选学（第0、15–17章）： 第0章随时都可以读，用来了解背景；第16章为第二遍阅读提供更深入的同调版柯西定理；第15章适合对无穷小感兴趣的读者；第17章是简短的延伸阅读指南。

请边读正文边做习题，尤其是第12章的留数习题，它们让核心定理有用武之地。