Complex Analysis（複素解析）

引用

Stewart, I., & Tall, D. (2018). Complex Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

章の要約

本書は第0章から始まる18の章で構成され、約380ページあります。ケンブリッジ大学出版局は、本書を、確立された実解析の理論から複素解析を展開し、複素平面のより豊かな幾何に由来する違いを強調し、素朴な位相的アイデアを使って視覚的な直観を厳密な証明に変えるものと説明しています。第2版は訂正された元の本文を残し、第15章（無限小）、第16章（コーシーの定理のホモロジー版）、第17章（さらなる方向）の3章を加えています。

第0章：The Origins of Complex Analysis, and Its Challenge to Intuition（複素解析の起源と、直観への挑戦）

12ページの歴史的な導入です。複素数の起源、その意味をめぐる論争、平面上での表現、19世紀のコーシーによる無限小の使用、そして第1版の形式的な方法の土台となったワイエルシュトラスによる解析学の算術化が扱われます。第2版では、無限小を含む拡大体に基づく新しい形式的な方法が加えられ、この章では視覚的な直観と厳密さの関係が提起されます。

第1–2章：Algebra of the Complex Plane（複素平面の代数）／Topology of the Complex Plane（複素平面の位相）

第1章は、複素数を和と積が定義された実数の順序対として定め、実部と虚部、絶対値、共役、極座標、そして複素数に順序をつけられないことの証明を扱います。序盤の章で最も長い第2章（35ページ）は、開集合と閉集合、極限と連続性、道、連結性と領域を扱い、舗装補題（Paving Lemma）を証明します。これは、領域内の道を有限個の円板で覆え、したがって領域の任意の2点を水平と垂直の線分の道で結べるという補題です。

第3–5章：Power Series（べき級数）／Differentiation（微分）／The Exponential Function（指数関数）

第3章は、収束の概念を実数から複素数の数列と級数へ広げます。コーシーの収束の一般原理、絶対収束、比較判定法と比判定法、円板内のべき級数です。第4章は、実の場合との類推で導関数を定義し、べき級数が収束円の内部で無限回微分可能であることを示して、実関数の「悪い振る舞い」と対比します。第5章は、exp、sin、cos をべき級数として定義し、オイラーの公式、周期性、および関連する三角関数と双曲線関数を証明します。

第6–7章：Integration（積分）／Angles, Logarithms, and the Winding Number（角度、対数、回転数）

第6章は複素積分を詳しく扱います。曲線（contour）、道に沿った積分、曲線積分の基本定理、そして後の証明で使われる評価補題（Estimation Lemma）です。第7章は、実のべき級数から偏角を導き、連続的な偏角の選び方と積分の両方を使って、道が点の周りを回る回転数を定め、閉じた道の補集合の連結成分を論じます。

第8–9章：Cauchy's Theorem（コーシーの定理）／Homotopy Versions of Cauchy's Theorem（コーシーの定理のホモトピー版）

第8章は、三角形、星状領域、領域の外の点の周りを回らない任意の道に対するコーシーの定理を、局所的な原始関数と近くの階段状の道に沿った積分によって証明し、切れ目、ジョルダン曲線、単連結領域についても論じます。第9章は、境界、および端点を固定したホモトピックな道や閉じた道に対するホモトピー版を与え、すべて原始関数の局所的な存在と曲線積分の基本定理に基づいています。

第10–12章：Taylor Series（テイラー級数）／Laurent Series（ローラン級数）／Residues（留数）

第10章は、コーシーの積分公式からテイラー級数を証明し、モレラの定理、コーシーの評価、リウヴィルの定理、代数学の基本定理の証明を導くほか、零点、関数の拡張、絶対値の局所的な極値を扱います。第11章は、ローラン級数、孤立特異点と真性特異点、リーマン球面と無限遠での振る舞いを導入します。第12章は留数定理と、その無限積分、無限級数、その他の演習への応用を扱います。

第13–14章：Conformal Transformations（等角変換）／Analytic Continuation（解析接続）

第13章は、導関数が0でない点での関数の等角性を扱い、メビウス変換が円を保つことを示し、等角写像を2次元のポテンシャル論、コーシー・リーマンの方程式を通したラプラス方程式、翼型の設計に応用します。第14章は、円板に限られるべき級数が重なり合う領域を通じてどう拡張されるかを説明し、多価関数とリーマン面に至ります。例として対数、平方根、複素べきが挙げられます。

第15–17章：Infinitesimals in Real and Complex Analysis（実解析・複素解析における無限小）／Homology Version of Cauchy's Theorem（コーシーの定理のホモロジー版）／The Road Goes Ever On …（道はなお続く…）

第2版で新しく加わった3章です。第15章（35ページ）は、無限小を含む実数と複素数の拡張に形式的な基礎を与え、拡大による視覚化を行い、古典解析、標準解析、非標準解析との関係を述べます。第16章は、コーシーの定理のホモトピー版を延長し、特異点が生む穴が積分にどう影響するかを問います。舗装補題の階段状の道を使い、長方形の和からサイクルと境界を定義して、境界に沿った積分が0になることを示します。第17章は、この分野がどこへ向かって発展してきたか、また発展しつつあるかを示す8ページの概観で、リーマン予想、モジュラー関数、多変数複素関数、複素多様体、複素力学系、フラクタル幾何が挙げられます。

主要概念

第0–5章：基礎

• 順序対としての複素数：第1章の形式的な定義。ここでは i の2乗を −1 と定めることが積に対応します。
• 舗装補題：第2章で、道の図を階段状の道に変える道具。第7章と第16章でも再び使われます。
• 複素関数の無限回微分可能性：第4章での、実関数との対比。
• オイラーの公式：exp(z) = cos(z) + i sin(z)。第5章でべき級数の定義から証明されます。

第6–14章：積分と主要な定理

• 評価補題：曲線積分を曲線の長さと被積分関数の最大値で抑えるもので、後の証明で使われます。
• 回転数：第7章での、道が点の周りを何回回るかの尺度。
• コーシーの定理とそのさまざまな版：三角形、星状領域、ホモトピックな道（第8–9章）、境界（第16章）に対するもの。
• 留数、等角写像、リーマン面：第12–14章。

第15–17章：第2版の追加部分

• 無限小：第15章の拡大体。
• サイクルと境界：第16章のホモロジーの言葉。

批判的分析

長所

• 一貫した方法。 位相がまず展開され（第2章）、その舗装補題が回転数（第7章）とホモロジー版の定理（第16章）で再び現れるので、道についての直観が、ごまかしではなく証明の技法になります。出版社はまさにこの戦略を強調しています。
• コーシーの定理の深い扱い。 この定理は3つの形で現れます。三角形と星状領域に対するもの（切れ目やジョルダン曲線を含む、第8章）、ホモトピーによるもの（第9章）、ホモロジーによるもの（第16章）で、いずれも局所的な原始関数に基づきます。仮定を段階的に弱められる様子を学生が確認できます。
• 歴史と動機づけ。 第0章は、技術的な内容に入る前に、歴史的な背景と直観対厳密さというテーマを提示します。
• 本書内の応用。 第12章は留数を使って無限積分と無限級数を評価し、第13章は等角写像をポテンシャル論と翼型設計に応用します。

短所

• 複素微分に入るまでが長い。 微分は75ページから始まり、その前に35ページの位相の章があります。解析関数を早く見たい学生には出だしが遅く感じられるでしょう。位相は厳密な道筋の代償です。
• 実解析が前提。 本書は実解析を土台に築かれているので、極限、数列、級数を厳密に学んだ学生に向いています。
• 非標準的な内容。 第15章は無限小の形式的な理論を与えますが、これはほとんどの学部課程から外れた視点です。標準的なシラバスに従う読者は、短い第17章と同様に、この章を飛ばせます。
• 限られた応用。 応用は主に留数計算と、ポテンシャル論のための等角写像です。たとえばフーリエ変換やラプラス変換の章はありません。

コースにおける位置づけ

Stewart と Tall は、このコース一覧の中で、やさしい入門書と大学院の古典との中間にあたります。Beck、Marchesi、Pixton、Sabalka の『A First Course in Complex Analysis』は、実解析をできるだけ前提とせず、留数定理を目指す1学期用の無料教科書で、Brown と Churchill の『Complex Variables and Applications』は、応用を視野に入れた入門書です。実解析の課程を取っていない学生にとって、どちらもこの分野との最初の出会いに向いています。Needham の『Visual Complex Analysis』は、幾何学的な直観のための自然な相棒で、同じ考え方を、形式的な証明だけに頼らず、図と物理的な直観を通して扱います。Ahlfors の『Complex Analysis』と Stein と Shakarchi の『Complex Analysis』は、その後に進む簡潔な大学院向けの教科書です。

本書の使い方

本書は、実解析の最初の課程と多変数微積分を終え、証明を重んじつつ幾何学的な動機づけのある複素解析の扱いを求める学部生に向けた本です。

実際の進め方は次のとおりです。

• 中核（第1–12章）： 順に読みます。第2章は初めて読む人にはいちばんなじみがありませんが、その舗装補題は第7章と第8章で役に立ちます。第6–12章が中心的な定理、すなわち積分、コーシーの定理とそのホモトピー版、テイラー級数とローラン級数、留数を担います。
• 応用と発展（第13–14章）： 等角写像は物理や工学に関心のある人に向き、解析接続はリーマン面へとつながります。
• 任意（第0、15–17章）： 第0章は背景を知るためにいつ読んでもよく、第16章は2回目の読みのためのより深い、ホモロジー版のコーシーの定理を示し、第15章は無限小に関心のある読者に向き、第17章はさらなる読書への短い案内です。

演習は本文と並行して解いてください。とくに、中心的な定理を実際に使う第12章の留数の演習が重要です。