Complex Analysis（复分析）

引用

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Complex Analysis. Princeton University Press. Princeton Lectures in Analysis, II.

章节概要

全书共十章和两个附录，是《普林斯顿分析讲义》四卷中的第二卷，引言多次回指讲傅里叶分析的第一卷。每章后附习题，第一章之后的各章另有难度更高的问题。

第1章：Preliminaries to Complex Analysis（复分析预备知识）

复平面、收敛与平面点集、连续函数与全纯函数、幂级数，以及沿曲线的积分。本章为 Cauchy 定理做准备，章末只有习题。

第2章：Cauchy's Theorem and Its Applications（Cauchy 定理及其应用）

由 Goursat 定理引出圆盘内原函数的局部存在性和 Cauchy 定理，起初只针对简单的“玩具围道”。随后计算若干积分，证明 Cauchy 积分公式，并给出进一步的应用：Morera 定理、全纯函数序列、由积分定义的全纯函数、Schwarz 反射原理和 Runge 逼近定理。

第3章：Meromorphic Functions and the Logarithm（亚纯函数与对数）

零点与极点、留数公式及例子、奇点与亚纯函数、幅角原理及其应用、同伦与单连通区域、复对数，最后一节讨论 Fourier 级数与调和函数的关系。

第4章：The Fourier Transform（Fourier 变换）

研究 Fourier 变换在目录中记为 ℑ 的一类特定函数上的作用，并证明 Paley–Wiener 定理。引言把这一章看作 Fourier 变换与复分析之间的优美联系。

第5章：Entire Functions（整函数）

Jensen 公式、有限阶函数、无穷乘积（包括正弦函数的乘积公式）、Weierstrass 无穷乘积和 Hadamard 因子分解定理。

第6章：The Gamma and Zeta Functions（Gamma 函数与 Zeta 函数）

先讲 Gamma 函数的解析延拓和进一步性质，再讲 Zeta 函数及其函数方程与解析延拓。

第7章：The Zeta Function and Prime Number Theorem（Zeta 函数与素数定理）

Zeta 函数的零点与 1/ζ(s) 的估计，然后把素数定理化归为函数 ψ 与 ψ₁ 的渐近式，并证明这些渐近式。

第8章：Conformal Mappings（共形映射）

共形等价、圆盘与上半平面、带形区域中的 Dirichlet 问题、Schwarz 引理与自同构、Riemann 映射定理（含 Montel 定理），以及通过 Schwarz–Christoffel 积分把区域共形映到多边形，最后回到椭圆积分。

第9章：An Introduction to Elliptic Functions（椭圆函数导论）

椭圆函数、Liouville 定理与 Weierstrass ℘ 函数，然后是椭圆函数的模性质与 Eisenstein 级数，包括它们与除数函数的联系。

第10章：Applications of Theta Functions（Theta 函数的应用）

Jacobi theta 函数的乘积公式及其变换律，母函数和对分拆的简短介绍，以及二平方和、四平方和定理的证明。本章开头强调 theta 函数的双重性质：对一个变量是椭圆的，对另一个变量是模的。

附录 A、B：Asymptotics；Simple Connectivity and Jordan Curve Theorem（渐近分析；单连通性与 Jordan 曲线定理）

附录 A 涵盖 Bessel 函数、Laplace 方法与 Stirling 公式、Airy 函数和分拆函数。附录 B 给出单连通性的等价表述、Jordan 曲线定理，以及 Cauchy 定理一般形式的证明。

核心概念

第1–3章：全纯函数、Cauchy 与留数

• 全纯函数：在复意义下可微的函数，对差商极限的要求支撑起整个理论。
• Cauchy 定理与积分公式：全纯函数在适当闭曲线上的积分为零，圆内的函数值可由圆周上的积分给出。
• 留数公式与幅角原理：把积分以及零点和极点的计数化为局部计算的工具。

第4–7章：Fourier、整函数、Zeta

• Paley–Wiener 定理：本章的收尾结果，把函数的性质与其 Fourier 变换的性质联系起来。
• Hadamard 分解：用无穷乘积通过零点表示有限阶整函数。
• ζ 的函数方程：提供解析延拓，并支撑素数定理的证明。

第8–10章：共形映射、椭圆函数与 Theta 函数

• Riemann 映射定理：平面上每个单连通的真开子集都与单位圆盘共形等价。
• Weierstrass ℘ 函数：一个基本的双周期函数，椭圆函数由它构造。
• Theta 函数：兼具椭圆性质与模性质的级数，用来证明平方和定理。

评析

优点

• 开篇清楚地交代方法。 引言点出三个现象（围道积分、正则性、解析延拓），并说主要性质的证明简短而富有启发，使读者在进入技术性章节前先有全貌。
• 超出常规教学大纲的广度。 出版社的介绍强调与 Fourier 分析、数论和组合学的联系。目录以 Fourier 变换、素数定理、椭圆函数和平方和定理等章节印证了这一点。
• 每章都有练习。 第一章之后，每章末尾都有习题和另一组问题，出版社还发布了若干习题的勘误表。
• 严格而有动机。 出版社称本书在概念上的洞见与严格分析的技术基础之间取得了谨慎的平衡，各章在证明之前有题词和对本章要做什么的说明（如第2章和第10章）。

局限

• 属于系列丛书的一卷。 引言引用了第一卷的结果，没有学过 Fourier 级数和一些实分析的读者会遇到缺口。
• 对初学者帮助不多。 第一章只是预备性的一章，以习题收尾，初次接触复数的学生需要另备一本较平缓的教材。
• 后面的章节较为专门。 讲椭圆函数和 theta 函数的第9、10章以及讲渐近分析的附录 A 服务于走向数论的读者，一般课程用不到。

在课程中的定位

Stein 与 Shakarchi 是把复分析与分析学其余部分联系起来的严格的进阶处理。书单中较早或较平缓的选择包括 Beck、Marchesi、Pixton 与 Sabalka 的免费单学期教材、Brown 与 Churchill 的入门书，以及 Stewart 与 Tall 的英国本科教材。Needham 的 Visual Complex Analysis 以几何方式讲解这门学科，是培养直觉的好搭档。

Ahlfors 的经典研究生教材在研究生层次涵盖同样的核心，适合想要第二种来源的读者作比较。Stein 与 Shakarchi 的特点是把 Fourier 分析、Zeta 函数和 theta 函数融入课程，所以学过实分析并想学这些应用的学生应选它。

如何使用本书

本书适合已修过扎实的实分析课程、并且学过或准备学习 Fourier 级数的学生，可作单学期课程的主教材或用于自学。

• 核心： 第1至3章给出中心理论（Cauchy、留数、幅角原理、对数）。一般课程接下来自然是第8章共形映射。
• 后续： 第5至7章讲整函数和 Zeta 函数，通向素数定理。
• 选读： 第9、10章和附录，适合对椭圆函数、数论或渐近分析感兴趣的读者。

边学边做习题，并尝试每章后更有挑战性的问题。可对照出版社针对部分习题发布的勘误表。