Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable（複分析：單複變解析函數論導論）

引用

Ahlfors, L. V. (2021). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). American Mathematical Society (AMS Chelsea Publishing, vol. 385).

章節概要

美國數學會切爾西叢書的這一卷是第三版（初版於1978年）的重印本，共331頁，含八章、序言和索引。出版社把它描述為一部嚴格的、在初等層次上講授單復變解析函數理論的入門書，面向研究生一年級學生和高年級本科生。全書偏重幾何方法，含有大量關於共形對映、黎曼對映定理、狄利克雷問題、單值性定理，以及柯西積分定理成立的區域型別的材料；此外也涵蓋冪級數、圍道積分和無窮乘積，對特殊函式的處理簡明而相當完整。阿爾福斯在第三版序言中寫道，他仍然堅信基礎部分應採用幾何方法，因此導論性章節與早期版本幾乎沒有變化。

第1章：複數

開篇一章與六章的初版一樣，專講複數。

第2章：複函式

第二章轉向復變數的函式。S. L. 格林指出，從第二版起，指數函式和三角函式是用冪級數定義的。

第3章：作為對映的解析函式

本章從幾何角度處理解析函式，把它們看作區域的對映。W. M. 布斯比早年的書評指出，全書強調幾何方法，直到書的中間才引入冪級數。

第4章：復積分

復積分一章發展柯西積分定理及其推論。出版社強調書中對柯西定理成立的區域型別的關注，而初版的一位書評者稱讚其系統地使用拓撲思想，並對所需知識作了簡短介紹。

第5章：級數與乘積展開

第五章涵蓋級數展開和無窮乘積，出版社把這些列為本書的解析部分，同時還有對特殊函式的簡明處理。

第6章：共形對映；狄利克雷問題

這是承載幾何核心的一章：共形對映、黎曼對映定理和狄利克雷問題，即具有給定邊界值的調和函式的存在性。初版中關於狄利克雷問題的章節包含了佩龍方法，格林還指出，黎曼對映定理與施瓦茨–克里斯托費爾變換的一節合在了一起。

第7章：橢圓函式

橢圓函式是在第二版中增加為一章的。據皮埃爾·勒龍在《數學評論》中的書評，該章藉助模函式給出了皮卡定理。

第8章：整體解析函式

最後一章討論大範圍的解析函式，出版社將單值性定理列為本書整體理論的內容之一。

核心概念

第1–5章：基礎

• 作為對映的解析函式：第3章，體現全書的幾何取向。
• 柯西積分定理：第4章，以及該定理成立的區域問題。
• 冪級數、圍道積分與無窮乘積：第4–5章。

第6–8章：幾何函式論與整體理論

• 共形對映與黎曼對映定理：第6章。
• 狄利克雷問題：第6章，即具有指定邊界值的調和函式的存在性。
• 橢圓函式：第7章。
• 單值性定理與整體解析函式：第8章。

評析

優點

• 幾何取向。 出版社稱本書偏重幾何方法，阿爾福斯在序言中也表達了同樣的信念。皮爾斯·凱吉姆在《美國數學月刊》評論初版時，讚揚了它系統使用拓撲技術並對所需拓撲概念作簡短介紹，同時保持了經典函式論的風味。
• 簡明而清晰。 美國數學會稱其敘述簡明、清晰、透徹，在最近一次修訂三十多年後仍然不過時。哈里·霍赫施塔特在《SIAM Review》（1980）中認為，大約320頁包含的內容遠多於一年研究生課程所能講授的，是一部透徹、全面而深入的入門書。
• 習題與範圍。 S. M. 沙阿在《美國數學月刊》評論第二版時稱其嚴格、易讀，有若干有挑戰性的習題（其中一些附有提示），適合作為研究生一年級學生兩學期課程的教材。
• 超出標準課程的題材。 布斯比指出，書中關於狄利克雷問題的一章（含佩龍方法）是這類書裡通常沒有的內容；勒龍對第二版的書評則提到次調和函式、黎曼曲面和橢圓函式。

侷限

• 並不容易。 霍赫施塔特寫道，這不是一本容易的書，只有出色的研究生才能在沒有教師幫助的情況下掌握它。布羅德本特在早期書評中說，作者統一的文風有時會掩蓋關鍵結果。
• 閱讀建議。 對初版的同一篇早期書評遺憾書中缺少進一步閱讀的建議。
• 不止一門課的內容。 霍赫施塔特說，書中的內容遠多於一年研究生課程所能講授的，因此任何課程都必須取捨，自學的讀者也需要決定捨棄什麼。
• 重印本。 2021年這一卷重印的是第三版，所以它的內容是七十年代後期的。

在課程中的定位

在複分析書單中，這是簡明、重幾何的研究生教材。若想從較平緩的地方起步，Beck、Marchesi、Pixton 和 Sabalka 的《A First Course in Complex Analysis》（免費且開放授權，面向一學期本科課程）和 Brown 與 Churchill 的《Complex Variables and Applications》都是在兼顧應用的前提下構建理論。Stewart 與 Tall 的教材為本科生髮展嚴格的理論，同時始終顧及幾何思想；Tristan Needham 的《Visual Complex Analysis》則為同樣的結果提供影像和物理直覺，與阿爾福斯偏幾何的章節配合得很好。Stein 與 Shakarchi 的一卷是另一部嚴格的研究生層次的選擇，更強調與傅立葉分析和數論的聯繫。

如何使用本書

本書適合具備紮實實分析基礎和一些點集拓撲知識的研究生一年級學生和優秀的高年級本科生；正文本身從複數講起。

• 核心： 第1–6章構成標準的研究生課程，其中第6章是幾何方面的主要目標。
• 可選或第二學期： 第7章（橢圓函式）和第8章（整體解析函式），適合第二學期或獨立研讀。
• 閱讀方式： 動筆演算，把習題當作正文的一部分，並配一本偏計算的書；Needham 或 Brown 與 Churchill 的書可以彌補直覺或技巧上的不足。