Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable（复分析：单复变解析函数论导引）

引用

Ahlfors, L. V. (2021). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). American Mathematical Society (AMS Chelsea Publishing, vol. 385).

章节概要

美国数学会切尔西丛书的这一卷是第三版（初版于1978年）的重印本，共331页，含八章、序言和索引。出版社把它描述为一部严格的、在初等层次上讲授单复变解析函数理论的入门书，面向研究生一年级学生和高年级本科生。全书偏重几何方法，含有大量关于共形映射、黎曼映射定理、狄利克雷问题、单值性定理，以及柯西积分定理成立的区域类型的材料；此外也涵盖幂级数、围道积分和无穷乘积，对特殊函数的处理简明而相当完整。阿尔福斯在第三版序言中写道，他仍然坚信基础部分应采用几何方法，因此导论性章节与早期版本几乎没有变化。

第1章：复数

开篇一章与六章的初版一样，专讲复数。

第2章：复函数

第二章转向复变量的函数。S. L. 格林指出，从第二版起，指数函数和三角函数是用幂级数定义的。

第3章：作为映射的解析函数

本章从几何角度处理解析函数，把它们看作区域的映射。W. M. 布斯比早年的书评指出，全书强调几何方法，直到书的中间才引入幂级数。

第4章：复积分

复积分一章发展柯西积分定理及其推论。出版社强调书中对柯西定理成立的区域类型的关注，而初版的一位书评者称赞其系统地使用拓扑思想，并对所需知识作了简短介绍。

第5章：级数与乘积展开

第五章涵盖级数展开和无穷乘积，出版社把这些列为本书的解析部分，同时还有对特殊函数的简明处理。

第6章：共形映射；狄利克雷问题

这是承载几何核心的一章：共形映射、黎曼映射定理和狄利克雷问题，即具有给定边界值的调和函数的存在性。初版中关于狄利克雷问题的章节包含了佩龙方法，格林还指出，黎曼映射定理与施瓦茨–克里斯托费尔变换的一节合在了一起。

第7章：椭圆函数

椭圆函数是在第二版中增加为一章的。据皮埃尔·勒龙在《数学评论》中的书评，该章借助模函数给出了皮卡定理。

第8章：整体解析函数

最后一章讨论大范围的解析函数，出版社将单值性定理列为本书整体理论的内容之一。

核心概念

第1–5章：基础

• 作为映射的解析函数：第3章，体现全书的几何取向。
• 柯西积分定理：第4章，以及该定理成立的区域问题。
• 幂级数、围道积分与无穷乘积：第4–5章。

第6–8章：几何函数论与整体理论

• 共形映射与黎曼映射定理：第6章。
• 狄利克雷问题：第6章，即具有指定边界值的调和函数的存在性。
• 椭圆函数：第7章。
• 单值性定理与整体解析函数：第8章。

评析

优点

• 几何取向。 出版社称本书偏重几何方法，阿尔福斯在序言中也表达了同样的信念。皮尔斯·凯奇姆在《美国数学月刊》评论初版时，赞扬了它系统使用拓扑技术并对所需拓扑概念作简短介绍，同时保持了经典函数论的风味。
• 简明而清晰。 美国数学会称其叙述简明、清晰、透彻，在最近一次修订三十多年后仍然不过时。哈里·霍赫施塔特在《SIAM Review》（1980）中认为，大约320页包含的内容远多于一年研究生课程所能讲授的，是一部透彻、全面而深入的入门书。
• 习题与范围。 S. M. 沙阿在《美国数学月刊》评论第二版时称其严格、易读，有若干有挑战性的习题（其中一些附有提示），适合作为研究生一年级学生两学期课程的教材。
• 超出标准课程的题材。 布斯比指出，书中关于狄利克雷问题的一章（含佩龙方法）是这类书里通常没有的内容；勒龙对第二版的书评则提到次调和函数、黎曼曲面和椭圆函数。

局限

• 并不容易。 霍赫施塔特写道，这不是一本容易的书，只有出色的研究生才能在没有教师帮助的情况下掌握它。布罗德本特在早期书评中说，作者统一的文风有时会掩盖关键结果。
• 阅读建议。 对初版的同一篇早期书评遗憾书中缺少进一步阅读的建议。
• 不止一门课的内容。 霍赫施塔特说，书中的内容远多于一年研究生课程所能讲授的，因此任何课程都必须取舍，自学的读者也需要决定舍弃什么。
• 重印本。 2021年这一卷重印的是第三版，所以它的内容是七十年代后期的。

在课程中的定位

在复分析书单中，这是简明、重几何的研究生教材。若想从较平缓的地方起步，Beck、Marchesi、Pixton 和 Sabalka 的《A First Course in Complex Analysis》（免费且开放授权，面向一学期本科课程）和 Brown 与 Churchill 的《Complex Variables and Applications》都是在兼顾应用的前提下构建理论。Stewart 与 Tall 的教材为本科生发展严格的理论，同时始终顾及几何思想；Tristan Needham 的《Visual Complex Analysis》则为同样的结果提供图像和物理直觉，与阿尔福斯偏几何的章节配合得很好。Stein 与 Shakarchi 的一卷是另一部严格的研究生层次的选择，更强调与傅里叶分析和数论的联系。

如何使用本书

本书适合具备扎实实分析基础和一些点集拓扑知识的研究生一年级学生和优秀的高年级本科生；正文本身从复数讲起。

• 核心： 第1–6章构成标准的研究生课程，其中第6章是几何方面的主要目标。
• 可选或第二学期： 第7章（椭圆函数）和第8章（整体解析函数），适合第二学期或独立研读。
• 阅读方式： 动笔演算，把习题当作正文的一部分，并配一本偏计算的书；Needham 或 Brown 与 Churchill 的书可以弥补直觉或技巧上的不足。