確率過程の冒険

引用

Resnick, S. I. (2002). Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser.

章の要約

第1章：予備知識（離散的な添字集合および／または離散的な状態空間）

冒頭の章では、非負整数値の確率変数とその分布を扱う技法を復習し、それを単純ランダムウォークと、著者が ω 過程と呼ぶもう一つの例に適用する。章の終わり近くで停止時間を導入し、それを用いてワルドの恒等式とランダムウォークに関するいくつかの事実を導く。著者は、初学者はシグマ加法族についての高度な議論を飛ばしてよく、シグマ加法族が確率空間の中で情報を整理するものだという大まかな理解があれば足りると述べている。

第2章：マルコフ連鎖

約115ページに及ぶ充実した章で、現実的なモデルは従属関係を許さなければならないという指摘から始まる。来週の購買は過去の満足度に左右され、明日の在庫水準は今日の水準に、待ち行列は以前の待ち人数に左右される。章は離散状態空間のマルコフ連鎖を展開し、その中に分解原理を含める。これは、基準となる状態への復帰時点で連鎖を独立同分布のブロックに切り分ける方法である。この再生的な考え方は後の章でも再び使われる。

第3章：再生理論

再生過程は、事象の間隔が独立同分布である現象を表す。この章は、複雑なモデルにはしばしば再生過程が埋め込まれているという理由から、再生理論を応用確率論の基本的な構成要素の一つとして提示する。中心になるのは再生、すなわち過程を長さがランダムな独立同分布のブロックに分解する考え方である。約125ページあり、本書で最も長い章である。

第4章：点過程

点過程は、R、[0, ∞)、あるいは R^d の部分集合上における点のランダムな散らばりを記述する。この章は二つの既出の例の上に築かれている。間隔が独立同分布である再生過程と、[0, ∞) 上のポアソン過程（間隔が指数分布に従う再生過程）である。約65ページの比較的短い章である。

第5章：連続時間マルコフ連鎖

マルコフ性を連続時間に移し、状態空間は離散のまま、通常 {0, 1, …} とする。訪れる状態の列は依然として離散時間の連鎖だが、各状態で指数分布に従う滞在時間によって時間の流れが乱される。第2章の分解の議論を一般化すると、固定した状態への復帰時点で過程が再生することが示され、再生理論と再生過程がここでも道具になる。

第6章：ブラウン運動

植物学者ロバート・ブラウンが、分子の衝突を受ける微小粒子の運動のモデルとして最初に提案したブラウン運動（ウィーナー過程）を導入する。ブラウン運動は、確率過程の現代的理論と大標本統計学の中心にあり、金融市場の記述、拡散過程の構成、待ち行列の近似、推定における漸近分布の計算の基礎になるものとして位置づけられている。

第7章：一般のランダムウォーク

最後の章は、ランダムウォークを、与えられたステップ分布をもつ独立同分布の実数値ステップの部分和 S_n として定義する。著者はこの章を、初学者には向かない高度な内容と位置づけている。

主要概念

第1章：予備知識

• 停止時間：その時点で起こったかどうかがそれまでに得られた情報で決まる確率時刻。章ではワルドの恒等式の導出に用いられる。
• 単純ランダムウォーク：非負整数値変数の道具で扱われる最初の主要な例。

第2–3章：マルコフ連鎖；再生理論

• 分解原理：基準状態への復帰時点でマルコフ連鎖を独立同分布のブロックに切り分けること。
• 再生：過程がある確率時刻に新たに出発し直すという考え方で、これにより再生理論が適用できる。
• 再生過程：事象の間隔が独立同分布の確率変数である、[0, ∞) 上の点過程。

第4–5章：点過程；連続時間マルコフ連鎖

• ポアソン過程：間隔が指数分布に従う再生過程で、点過程の基本例。
• 滞在時間：連続時間の連鎖が各状態に留まる、指数分布に従う時間。

第6–7章：ブラウン運動；一般のランダムウォーク

• ブラウン運動（ウィーナー過程）：拡散過程や大標本理論の多くの基礎となる、ランダムな運動の連続時間モデル。
• ステップ分布：ランダムウォークの独立同分布な増分に共通する分布 F。

批判的分析

長所

• 読者に応じたモジュール構成。 出版社は、本書の議論が丁寧にモジュール化され、厳密な証明ともっともらしさによる議論が明確に区別されていると説明している。読者はまず考え方を追い、証明は後で読み返すことができる。著者は、初学者が飛ばしてよい部分（第1章のシグマ加法族の議論）や避けるべき部分（第7章）も明示している。
• 測度論は不要。 前提とされるのは測度論を使わない大学院レベルの確率論の課程で、高度な条件付けの概念は後の章まで先送りされる。
• 分析だけでなく構成も扱う。 著者は、モデルを作る者はその作り方を知るべきだという考えから、各クラスの過程の構成を含めている。挙げられている応用は、待ち行列、貯蔵、リスク分析、遺伝学、在庫、選択、経済学、社会学である。
• 評価。 出版社が引用する書評者は、明晰な文章と演習問題の選び方（ジャン＝カルロ・ロタ）、深い理論の動機づけの明快さと例・演習（Zentralblatt MATH）を挙げている。Choice と Internationale Mathematische Nachrichten も教科書として推奨している。

短所

• 確率論の最初の一冊ではない。 測度論を使わない大学院レベルの確率論の課程を前提とするため、それを学んでいない学生は先にもっと初歩的な本が必要になる。
• 確率解析がない。 七つの章はブラウン運動を過程として扱うところで終わる。確率積分や確率微分方程式の章はないため、金融や拡散過程へ進む読者には別の本が要る。
• 離散的な理論に重心がある。 第1〜3章が本文約610ページのほぼ半分を占めるので、ブラウン運動が主な関心の読者は第6章まで長い道のりになる。

コースにおける位置づけ

確率過程のリストの中で、本書は古典的な道具立てを扱う大学院レベルの一般向けテキストである。シェルドン・ロスの Introduction to Probability Models は、同じ領域であるマルコフ連鎖やポアソン過程とその応用を学部レベルで扱い、より入りやすい道筋になる。ドブローの Introduction to Stochastic Processes with R は、似た内容をシミュレーションと組み合わせ、確率解析への穏やかな導入で終わる。レズニックは厳密さの点でも、再生理論と点過程の理論の点でもさらに進んでおり、どちらの本のあとにも自然に続く。

連続時間の金融へ進む場合は、順序が異なる。シュリーヴの Stochastic Calculus for Finance I は離散時間の入門であり、エクセンダルの Stochastic Differential Equations、ランベルトンとラペールの Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance、ビョルクの Arbitrage Theory in Continuous Time は、いずれもブラウン運動と確率積分の上に築かれている。レズニックはこれらの本に必要なブラウン運動とランダムウォークの背景を与えるが、積分論は扱わない。

本書の使い方

本書は、測度論を使わない確率論の課程をすでに修めた、統計学、オペレーションズ・リサーチ、応用数学、工学の大学院1年次の学生に向いている。力のある学部生が確率過程の第二の課程として使うこともできる。

実行しやすい順序は、第1章（最初はシグマ加法族の部分を飛ばす）のあと、第2章、第3章、第5章を順に読むことである。第5章は第2章の分解の議論と第3章の再生の考え方を再利用する。第4章は再生過程とポアソン過程の上に築かれているので、第3章のあとに読める。ブラウン運動が主な関心の読者は、第6章を早めに眺めて、必要に応じて戻ればよい。第7章は二度目の通読や、ランダムウォークの一般論を知りたい読者のためにある。

最初の通読では、もっともらしさによる議論を追い、厳密な証明は後回しにする。本書は説明するモデルを組み立てる力を演習に頼っているので、演習問題に取り組むとよい。