随机过程探险

引用

Resnick, S. I. (2002). Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser.

章节概要

第1章：预备知识（离散指标集和/或离散状态空间）

开篇一章回顾处理非负整数值随机变量及其分布的技巧，并把这些技巧用于简单随机游走，以及作者称为 ω 过程的另一个例子。临近章末，引入停时，并用它推出瓦尔德恒等式和关于随机游走的一些结论。作者告诉初学者可以跳过关于 σ-代数的高阶讨论，只需粗略了解 σ-代数是在概率空间中组织信息的工具。

第2章：马尔可夫链

这一章篇幅可观，约115页，从一个观察出发：现实的模型必须允许依赖关系，下周的购买取决于以往的满意度，明天的库存水平取决于今天的库存，排队长度取决于之前的排队长度。本章在离散状态空间上展开马尔可夫链，其中包括分解原理，即在链回到某个参照状态的时刻把它切成独立同分布的块。这种再生的思想在后面的章节中被反复使用。

第3章：更新理论

更新过程用来描述事件间隔独立同分布的现象。本章把更新理论呈现为应用概率中最基本的构件之一，因为复杂的模型中往往嵌有一个更新过程。核心是再生，即把一个过程分解成长度随机的独立同分布块。本章约125页，是全书最长的一章。

第4章：点过程

点过程描述点在 R、[0, ∞) 或 R^d 的某个子集中的随机分布。本章建立在前面两个例子之上：间隔独立同分布的更新过程，以及 [0, ∞) 上的泊松过程，即间隔服从指数分布的更新过程。这一章相对较短，约65页。

第5章：连续时间马尔可夫链

本章把马尔可夫性搬到连续时间，同时保持状态空间离散，通常取 {0, 1, …}。所经过的状态序列仍然是离散时间的链，但时间的流逝被各状态中服从指数分布的停留时间所扰动。把第2章的分解论证加以推广，可以看出过程在回到某个固定状态的时刻再生，因此更新理论和再生过程在这里成为工具。

第6章：布朗运动

本章引入布朗运动（维纳过程），它最初由植物学家罗伯特·布朗提出，用来描述受分子碰撞的微粒的运动。书中把它定位为现代随机过程理论和大样本统计的核心，并且是描述金融市场、构造扩散过程、近似排队模型以及计算估计中渐近分布的基础。

第7章：一般随机游走

最后一章把随机游走定义为具有给定步长分布的独立同分布实值步长的部分和 S_n。作者将其标注为不适合初学者的高阶内容。

核心概念

第1章：预备知识

• 停时：其是否发生由到当时为止所得信息决定的随机时刻；本章用它推导瓦尔德恒等式。
• 简单随机游走：用处理非负整数值变量的工具来分析的第一个主要例子。

第2–3章：马尔可夫链；更新理论

• 分解原理：在回到参照状态的时刻，把马尔可夫链切成独立同分布的块。
• 再生：过程在某些随机时刻重新开始，因而可以应用更新理论。
• 更新过程：[0, ∞) 上事件间隔为独立同分布随机变量的点过程。

第4–5章：点过程；连续时间马尔可夫链

• 泊松过程：间隔服从指数分布的更新过程，也是点过程的基本例子。
• 停留时间：连续时间链在每个状态中停留的、服从指数分布的时间。

第6–7章：布朗运动；一般随机游走

• 布朗运动（维纳过程）：随机运动的连续时间模型，是扩散过程和大量大样本理论的基础。
• 步长分布：随机游走中独立同分布增量所共有的分布 F。

评析

优点

• 为不同读者设计的模块结构。 出版社介绍说，本书的讨论经过精心模块化，严格证明与合理性论证区分得十分清楚。读者可以先跟随思路，之后再回头读证明。作者还标明了初学者可以跳过的部分（第1章的 σ-代数讨论）和应当避开的部分（第7章）。
• 不要求测度论。 书中设定的先修要求是一门不使用测度论的研究生水平概率课程，高阶的条件化概念被推迟到后面的章节。
• 既有分析也有构造。 作者认为建立模型的人应当知道怎样构造模型，因此为所研究的每一类过程都给出了构造。书中列出的应用有排队、存储、风险分析、遗传学、库存、选择、经济学和社会学。
• 评价。 出版社引用的评论者称赞行文清晰和习题选择得当（吉安-卡洛·罗塔），以及对较深理论的动机说明清楚、例子和习题有趣（Zentralblatt MATH）。Choice 和 Internationale Mathematische Nachrichten 也推荐把它作为教材。

局限

• 不是概率论的第一本书。 本书假定读者已修过不使用测度论的研究生水平概率课程，没有这个基础的学生需要先读更基础的书。
• 没有随机分析。 七章内容止于作为一个过程的布朗运动。书中没有随机积分或随机微分方程的章节，因此打算转向金融或扩散过程的读者还需要另一本书。
• 离散理论占比偏重。 第1至3章占了约610页正文的近一半，主要关心布朗运动的读者要走很长的路才到第6章。

在课程中的定位

在随机过程书单中，本书是讲授经典工具的一般性研究生教材。谢尔登·罗斯的 Introduction to Probability Models 在本科层次讲解马尔可夫链、泊松过程及其应用，是进入同一领域的较容易的路径。多布罗的 Introduction to Stochastic Processes with R 把类似的内容与模拟结合起来，并以对随机分析的温和初探收尾。雷斯尼克在严格性以及更新理论和点过程理论上走得更远，读完其中任何一本后都可以自然地接上它。

如果目标是连续时间金融，路线则不同。施里夫的 Stochastic Calculus for Finance I 是离散时间的入门，而厄克森达尔的 Stochastic Differential Equations、兰贝尔顿与拉佩尔的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance 以及比约克的 Arbitrage Theory in Continuous Time 都建立在布朗运动和随机积分之上。雷斯尼克为这些书提供布朗运动和随机游走的背景，但不涉及积分理论。

如何使用本书

本书适合已经修过不使用测度论的概率课程的统计学、运筹学、应用数学和工程专业研究生一年级学生。基础扎实的本科生也可以把它用作随机过程的第二门课程。

一种可行的路线是：先读第1章（起初跳过 σ-代数部分），然后依次读第2、3、5章，因为第5章重用了第2章的分解论证和第3章的再生思想。第4章建立在更新过程和泊松过程之上，可以在第3章之后阅读。主要关心布朗运动的读者可以早些浏览第6章，需要时再回头查阅。第7章适合第二遍阅读，或者想了解随机游走一般理论的读者。

第一遍阅读时，跟随合理性论证，把严格证明留到以后。书中依靠习题来培养构建所述模型的能力，所以应当动手做习题。