A First Course in Complex Analysis（复分析初级教程）

引用

Beck, M., Marchesi, G., Pixton, D., & Sabalka, L. (2025). A First Course in Complex Analysis (Edition 1.6). Orthogonal Publishing L3C. Free official edition: https://matthbeck.github.io/complex.html

章节概要

第1章：复数

本章先简要介绍复数如何从三次方程的卡尔达诺公式中产生，然后把 ℂ 形式地定义为带有特定乘法的实数对，并证明它构成一个域。接着在代数观点与几何观点之间来回切换——极坐标形式、指数记号 e^{iφ}、单位根、共轭、模与三角不等式——最后讨论后续各章需要的平面初等拓扑（开集与闭集、边界、区域、道路与连通性）。一个可选实验要求学生手工计算复数，再用 SageMath 核对结果。

第2章：微分

本章为复函数定义极限与连续性，并引入复可微性；在开集上可微的函数称为全纯函数。柯西–黎曼方程作为把复可微性与实部、虚部偏导数联系起来的条件被推导出来，调和函数首次出现；简短的一节证明在区域上导数为零的函数是常数。

第3章：函数的例子

本章积累一批例子。它证明默比乌斯变换把圆和直线映为圆和直线；加入无穷远点后引出交比以及到球面的球极投影。指数函数和三角函数被推广到复自变量，并获得新的特征，例如指数函数的周期性；对数通过分支来处理，复数幂也一并讨论。

第4章：积分

本章沿分段光滑道路定义复积分，给出基本性质以及用道路长度表示的标准估计。它研究原函数以及积分何时与路径无关，引入闭道路的同伦，并证明同伦形式的柯西定理。最后给出柯西积分公式，先针对圆盘（包括平均值形式），再推广到更一般的简单闭道路。

第5章：柯西定理的推论

本章在第4章的基础上推导导数的积分公式，并得出全纯函数无穷次可微的结论。随后给出莫雷拉定理以及单连通区域上原函数的存在性；最后一节"把柯西公式推向极限"，证明代数基本定理和关于有界整函数的刘维尔定理。

第6章：调和函数

本章回到实值函数，证明全纯函数的实部是调和函数，并证明在单连通区域上每个调和函数都是这样的实部。它证明调和函数的平均值性质和最大–最小值原理，并通过习题讨论狄利克雷问题和泊松核。

第7章：幂级数

本章以一个此前工具无法计算的积分为动机，从头建立数列、完备性、级数和收敛判别法，然后讨论函数列与函数项级数以及一致收敛。它证明幂级数存在收敛半径，并描述这类级数在何处收敛。

第8章：泰勒级数与洛朗级数

本章在两个方向上把幂级数与全纯函数联系起来：幂级数在其收敛圆盘内是全纯的，而每个全纯函数在局部都有幂级数展开。它对零点进行分类，证明恒等原理和最大模定理，引入圆环上的洛朗级数，并最终通过在奇点附近展开被积函数，算出第7章开头的那个积分。

第9章：孤立奇点与留数定理

孤立奇点被分为可去奇点、极点和本性奇点，卡索拉蒂–魏尔斯特拉斯定理描述了本性奇点附近的性态。本章定义留数并给出几种计算法则，进而得到留数定理，把沿闭道路的积分化为留数之和。章末讨论用于计算零点和极点个数的辐角原理与儒歇定理，习题则把留数应用于实反常积分。

第10章：留数定理的离散应用

最后一章是一组分步引导的多步骤课题，用复积分回答离散问题：计算 1/k² 之和等无穷级数、二项式系数恒等式、斐波那契数的公式，以及戴德金和的互反律。致教师的说明建议把它们用作较长的作业或小组项目。

附录A：微积分中的定理

简短的附录汇集了正文用到的实微积分结论，例如最值定理、中值定理和微积分基本定理。

核心概念

第1章：复数

• 作为域的复数：带有规定加法和乘法、满足通常代数法则的实数对。
• 极坐标形式：把 z 写成 r e^{iφ}，乘法变为模相乘、辐角相加。
• 区域：平面上的连通开集，是本书中复函数的标准定义域。

第2章：微分

• 全纯函数：在开集每一点都复可微的函数。
• 柯西–黎曼方程：可微函数的实部与虚部满足的偏微分方程 u_x = v_y，u_y = −v_x。

第3章：函数的例子

• 默比乌斯变换：满足 ad − bc ≠ 0 的映射 (az + b)/(cz + d)，把圆和直线映为圆和直线。
• 球极投影：扩充平面与球面之间的对应，把圆映为圆。
• 对数的分支：在区域上连续地选取对数，由于复指数函数具有周期性，这一步是必要的。

第4章：积分

• 道路积分：复函数沿参数化道路的积分。
• 柯西定理：若闭道路能在区域内收缩为一点，则全纯函数沿它的积分为零（同伦形式）。
• 柯西积分公式：全纯函数在闭道路内部的值由沿该道路的积分决定。

第5章：柯西定理的推论

• 无穷次可微性：全纯函数具有任意阶导数，且由积分公式给出。
• 刘维尔定理：每个有界整函数都是常数。
• 代数基本定理：每个非常数多项式都有复根。

第6章：调和函数

• 调和函数：具有连续二阶偏导数并满足拉普拉斯方程的实函数。
• 最大值原理：区域上的非常数调和函数在内部没有最大值或最小值。

第7章：幂级数

• 一致收敛：函数列以与点无关的速度收敛，它保持连续性并允许逐项积分。
• 收敛半径：幂级数收敛的圆盘的半径。

第8章：泰勒级数与洛朗级数

• 泰勒展开：每个全纯函数在局部都是一个幂级数的和。
• 恒等原理：区域上的两个全纯函数若在一个有聚点的集合上相等，则处处相等。
• 洛朗级数：表示圆环上全纯函数的双边级数。

第9章：孤立奇点与留数定理

• 留数：在孤立奇点处洛朗展开中 (z − z₀)⁻¹ 的系数。
• 留数定理：沿闭道路的积分等于所围留数之和乘以 2πi。
• 儒歇定理：一种比较判别法，说明两个函数在道路内部有相同个数的零点。

第10章：留数定理的离散应用

• 用留数求和：通过沿不断扩大的道路积分由 π cot(πz) 构造的函数，计算 Σ 1/k² 之类的级数。
• 戴德金和：一类数论求和，其互反律可以用留数定理证明。

评析

优点

• 为第一门严格课程而写。 作者指出，对许多学生而言复分析是他们第一门严格的分析课，本书也充分体现了这一点：尽量少依赖实分析，从头建立数列与级数，并把需要的微积分定理集中在附录中。
• 明确的目标塑造了结构。 全书以留数定理为目标。第7章开头给出一个第4–5章的工具无法处理的积分，第8章用洛朗级数费力地算出它，第9章再用留数轻松解决，读者因此明白为什么需要级数这套工具。
• 离散应用。 第10章关于无穷级数、二项式系数、斐波那契数和戴德金和的引导式课题，在入门教材中并不多见，展示了留数定理如何连接连续数学与离散数学。
• 习题与软件。 全书分布着 250 多道习题（许多附有提示）和大量 SageMath 提示；开放许可（CC BY 4.0）允许教师改编。

局限

• 幂级数出现较晚。 由于级数从头构建，泰勒级数直到第8章才出现。已学过实分析的学生可能觉得第7章进展缓慢，偏好先讲幂级数的教师需要调整顺序。
• 留数之外的内容有限。 共形映射只涉及默比乌斯变换和初等函数；黎曼映射定理、解析延拓、无穷乘积以及伽马函数和 ζ 函数都没有涉及。进一步学习需要更高阶的教材。
• 应用主要是数学性的。 除了调和函数与狄利克雷问题的动机之外，几乎没有流体流动或积分变换之类的物理、工程应用。
• 实积分留给习题。 用留数计算实反常积分这一标准技巧只出现在习题中，而不是有例题的正文小节；需要在应用课程中使用该技巧的学生还需要更多例子。

书中的应用

应用集中在第10章和习题中。第10章引导读者利用 π cot(πz)/z² 的留数计算 ζ(2) 及其交错形式、二项式系数恒等式、斐波那契数的闭合公式，以及戴德金和的互反律（作者把这一方法归功于拉德马赫）。第5章和第9章的习题计算有理函数的实反常积分，第6章则把调和函数与狄利克雷问题和泊松核联系起来。

在课程中的定位

在这份复分析书单中，Beck 等人的书与 Brown 和 Churchill 所著 Complex Variables and Applications（一般被视为面向应用的入门书）并列；两者相比，Beck 等人的书更以证明为中心，而 Brown 和 Churchill 常用于重视工程应用的场合。Tristan Needham 的 Visual Complex Analysis 一般被描述为以图形和几何为主导的讲法，适合作为培养直觉的配套读物，尤其有助于理解第3章的默比乌斯变换和复数乘法的几何意义。Stewart 和 Tall 的 Complex Analysis 是另一本本科层次的选择。

Ahlfors 的 Complex Analysis 以及 Stein 和 Shakarchi 的 Complex Analysis 一般用于研究生或荣誉课程。Beck 等人的书是通往这两本书的良好准备：同伦形式的柯西定理、留数计算和儒歇定理，正是那些教材建立共形映射、解析延拓和特殊函数的基础。

如何使用本书

本书面向把复分析作为（可能是）第一门严格分析课的本科生。读者需要多元微积分（偏导数、线积分思想、极坐标），并对阅读和书写证明有一定的熟悉度；不要求学过实分析。

作者指出书中内容多于一个学期所能讲授的。核心路线是第1–5章，然后是第7–9章，以留数定理收尾；第6章的调和函数和第3章的部分内容（球极投影、交比）可以压缩，学过实分析的学生可以快速读过 7.1–7.2 节。第10章最适合作为课程末尾的课题。认真完成各章末的习题（许多附有提示），并利用 SageMath 提示和第1章的可选实验来核对计算、直观呈现函数。

版本与来源

本导读依据 A First Course in Complex Analysis Edition 1.6（2025 年 8 月，© 2002–2025 Matthias Beck、Gerald Marchesi、Dennis Pixton、Lucas Sabalka，CC BY 4.0），阅读的是官方图书页面 https://matthbeck.github.io/complex.html 提供的免费 PDF；平装本由 Orthogonal Publishing 出版。导读参考了"关于本书"、致教师的说明、完整目录、全部十章及附录的引言、所有小节标题、主要编号定理和命题的陈述、若干范例（默比乌斯变换、同伦、留数计算），以及第1、5、6、9章的习题。