Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide（物理與工程數學方法）

引用

Riley, K. F., Hobson, M. P., & Bence, S. J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide (3rd ed.). Cambridge University Press.

章節概要

第三版共三十一章，約1,300頁。作者在第一版序言中說，他們只假定讀者具備大學物理科學課程新生通常應有的數學基礎（英國的A-level水平，美國的初級學院水平），前六章彙集讀者可能已經熟悉的內容，並將其擴充套件、應用於大學一年級的問題。其餘部分旨在至少涵蓋物理科學本科生會遇到的數學，本書也適合研究生階段的起步，並可作為參考書。作者分三個階段呈現每個主題：定性的引入；更形式化的陳述，其中有意迴避存在性和收斂性之類的問題；以及完整演算的例題。每章末尾有習題，奇數編號習題附有提示和答案。

第1–6章：預備代數；預備微積分；複數與雙曲函式；級數與極限；偏微分；多重積分

開頭一組內容複習並擴充套件中學和大一的知識：多項式方程、部分分式、二項展開和證明方法；微分與積分；複數、棣莫弗定理和雙曲函式；級數、冪級數、泰勒級數和極限；偏導數、駐值和條件極值；以及帶變數替換的二重和三重積分。預備代數一章是第二版為適應新生準備不足而加的。

第7–9章：向量代數；矩陣與向量空間；簡正模

向量代數涵蓋標量積與向量積、直線、平面和距離。矩陣一章對向量空間、線性運算元、行列式、逆矩陣、特徵值、對角化、二次型和聯立方程作了較長的論述，以奇異值分解結束。簡正模是較短的一章，單獨論述振動系統、對稱性和瑞利–裡茨方法。

第10–11章：向量微積分；線積分、面積分和體積分

向量的微分與積分、空間曲線、標量場和向量場、梯度、散度與旋度，以及柱座標、球座標和一般曲線座標；然後是線積分、面積分和體積分，包括格林定理、散度定理、斯托克斯定理及其物理應用。

第12–13章：傅立葉級數；積分變換

傅立葉級數，包括狄利克雷條件、對稱性、復傅立葉級數和帕塞瓦爾定理。積分變換一章討論傅立葉變換（含不確定性原理、狄拉克δ函式、卷積與相關）和拉普拉斯變換。

第14–17章：一階常微分方程；高階常微分方程；常微分方程的級數解；微分方程的本徵函式方法

這幾章從可分離變數方程和一階線性方程出發，經常係數和變係數方程、格林函式與引數變易法，到圍繞常點和正則奇點的級數解，再到厄米運算元和斯圖姆–劉維爾理論。

第18–19章：特殊函式；量子算符

這兩章都是第三版新增的。特殊函式一章系統論述勒讓德、切比雪夫、貝塞爾、拉蓋爾和厄米函式，以及超幾何函式與伽馬函式；序言指出，它們大多是超幾何函式或合流超幾何函式的特例。量子算符一章使用不依賴座標的算符，涉及對易子、角動量以及產生和湮滅算符。

第20–21章：偏微分方程：通解與特解；偏微分方程：分離變數法及其他方法

第一章介紹波動方程、擴散方程、拉普拉斯方程、泊松方程和薛定諤方程，通解與特解，特徵線和唯一性。第二章講分離變數法、極座標、積分變換方法和格林函式。

第22–23章：變分法；積分方程

尤拉–拉格朗日方程、條件變分、費馬原理和哈密頓原理，以及本徵值的估計；然後是積分方程，包括諾伊曼級數、弗雷德霍姆理論和施密特–希爾伯特理論。

第24–25章：復變數；復變數的應用

解析函式、分支切割、保角變換、柯西定理和留數定理。應用一章是本版新增的，涉及復勢、零點的位置、級數求和、拉普拉斯逆變換、艾裡積分、WKB方法，以及鞍點法和最速下降法的近似。

第26–29章：張量；數值方法；群論；表示論

笛卡兒張量與一般張量、度規張量、克里斯托費爾符號和測地線；方程、積分（含高斯積分和蒙特卡羅方法）與微分方程的數值方法；以及應用於分子、量子力學和簡正模的群論與表示論。

第30–31章：機率；統計

機率包括公理、分佈、母函式和聯合分佈；統計包括估計量、最大似然、最小二乘和假設檢驗。

核心概念

第1–13章：基礎

• 特徵值與特徵向量：用於對角化、二次型和簡正模的矩陣工具。
• 向量運算元與積分定理：梯度、散度、旋度，以及格林、高斯和斯托克斯定理。
• 傅立葉變換與拉普拉斯變換：在函式與其譜之間轉換以解決問題。

第14–23章：微分方程與變分方法

• 斯圖姆–劉維爾理論與格林函式：本徵函式展開，以及用響應函式求解。
• 特殊函式：由具有特定對稱性的物理問題產生的解族。
• 分離變數：把偏微分方程化為常微分方程。
• 變分法：求使某個積分取駐值的函式。

第24–31章：高階與應用主題

• 留數與圍道積分：通過複分析計算積分。
• 張量：在座標變換下按規定方式變換的量。
• 群表示與特徵標：系統地利用對稱性。
• 估計與假設檢驗：處理資料的統計方法。

評析

優點

• 一卷之內覆蓋極廣。 目錄從中學代數一直到張量、群論、數值方法、機率和統計。讀者不必換書，就能找到物理科學本科階段所需的大部分數學。
• 一致的呈現模式。 序言描述了每個主題的物理引入、形式化陳述和完整例題，作者還明確說，由於學生不喜歡，他們避免了只演算一半的例題。
• 經過設計的習題。 第三版有800多道習題。奇數編號習題的提示和概要答案印在書中，400多道奇數編號習題的完整解答在單獨的手冊中，偶數編號習題則留作無輔助的家庭作業。
• 不省略的記號。 作者說，他們把偏導數寫成較長的常見形式而不是下標形式，以便學生同時思考其物理含義。

侷限

• 篇幅與深度的取捨。 全書三十一章，超過1,300頁，各主題是以夠用的深度引入的；作者有意擱置存在性、收斂性和極限交換的問題，所以要求嚴格證明的讀者需要另備純數學教材。
• 難度攀升很大。 序言說第三版總體水平沒有變化，但順序從一年級的複習一路走到群論、表示論和WKB方法的章節，因此後面各章比最初六章需要高得多的數學成熟度。
• 面向物理科學家。 量子算符、簡正模和分子的表示論等許多應用取自物理，工程專業的讀者也許會選擇跳過。
• 一半習題的解答受限。 偶數編號習題在書中沒有提示或答案，完整解答只通過受密碼保護的網站提供給經認證的教師，自學者對這些習題沒有核對手段。

在課程中的定位

在這門工程數學課程中，Riley、Hobson和Bence是高階的單卷參考書。Croft和Davison的 Mathematics for Engineers 以及Stroud和Booth的 Engineering Mathematics 是從算術和代數出發、循序漸進的一年級教材，覆蓋了第1–6章所複習的大部分內容。Kreyszig的 Advanced Engineering Mathematics 是各部分基本獨立的、寬廣的參考書式工程教材，James的 Advanced Modern Engineering Mathematics 則是講授矩陣、變換、向量微積分、復變數和微分方程的英國二年級教材。

Riley、Hobson和Bence在中間章節與Kreyszig和James有重疊，但在格林函式、張量、群論、特殊函式和變分法上走得更遠。Bender和Orszag的 Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers 是講授近似解析方法的研究生教材，是讀完本書WKB和漸近內容之後的自然下一步。

如何使用本書

序言只假定大學物理科學課程之初通常遇到的數學，第1–6章複習並擴充套件這一基礎。本書適合物理、工程和化學專業的學生在數年間使用，也可作為研究生階段的參考書。

實用的安排：

• 一、二年級： 按順序讀第1–13章，與先前課程重複的可以跳過。關於矩陣與簡正模的第8、9章，以及關於向量微積分的第10、11章，是需求最廣的。
• 微分方程： 第14–17章和第20–21章，以關於傅立葉與拉普拉斯方法的第12、13章作為基於變換的方法的前提。
• 按領域選讀： 特殊函式、量子算符和變分方法讀第18–19章和第22–23章；復變數讀第24–25章；張量讀第26章；群論讀第28–29章；機率與統計讀第30–31章；數值計算讀第27章。

做奇數編號習題，並對照書中印出的提示核對；需要完整解答時，使用學生解答手冊。把本書留作參考書，以便在後續課程用到新技巧時回頭查閱。