01 / 導讀
導讀
引用
James, G., Burley, D., Dyke, P., Clements, D., Steele, N., & Wright, J. (2018). Advanced Modern Engineering Mathematics (5th ed.). Pearson Education.
章節概要
Pearson的目錄按以下順序列出十二個條目：一個導言，然後是十一個專題章節。出版社介紹說，本書建立在配套教材 Modern Engineering Mathematics 的基礎之上，對在工程中有應用的若干高等數學領域作了「深入處理」，尤其是把它們作為計算機化系統建模、分析與設計的工具。印刷版約1,000頁。目錄只給出章標題而沒有小節列表，因此下面的每個條目描述的是標題本身所指的內容。
導言（Introduction）
開頭的條目位於各技術章節之前。目錄沒有對它作進一步說明。
矩陣分析（Matrix Analysis）
第一個專題章節講矩陣，排在微分方程、向量微積分和變換各章之前。
常微分方程的數值解（Numerical Solution of Ordinary Differential Equations）
目錄中唯一講常微分方程的一章走的是數值路線，沒有單獨講解析解法的章節，這與出版社所說本書以一本較低年級的配套教材為基礎相吻合。
向量微積分（Vector Calculus）
講向量場的微積分，排在複變函數內容之前。
複變函數（Functions of a Complex Variable）
一章講複變函數。
拉普拉斯變換與z變換（Laplace Transforms; The z Transform）
兩個相鄰的變換章節：先是拉普拉斯變換，然後是z變換。合起來涵蓋了同一思想在連續時間和離散時間下的兩種形式。
傅立葉級數與傅立葉變換（Fourier Series; The Fourier Transform）
另外兩個相鄰的章節：先是傅立葉級數，然後是傅立葉變換。
偏微分方程（Partial Differential Equations）
在目錄中，這一章排在傅立葉內容之後。
最最佳化（Optimization）
講最最佳化的一章。
應用機率與統計（Applied Probability and Statistics）
最後一章，講應用形式的機率與統計。
核心概念
目錄點名了下列主題；以下解釋是對這些概念的一般性定義，並不是關於本書具體如何處理的斷言。
矩陣分析；常微分方程的數值解
- 矩陣分析：研究矩陣及其性質，是目錄中的第一個專題章節。
- 常微分方程的數值解：在難以得到解析表示式時，在計算機上逐步近似求解。
向量微積分；複變函數
- 向量微積分：對向量值的量和向量場求導與積分。
- 複變函數：自變數與函數值都是複數的函數。
變換與傅立葉方法
- 拉普拉斯變換：對時間函數的變換，廣泛用於連續系統。
- z變換：針對離散序列和離散時間系統的相應工具。
- 傅立葉級數與傅立葉變換：把週期函數展開為正弦和餘弦，以及適用於非週期函數的變換。
偏微分方程；最最佳化；機率與統計
- 偏微分方程：含有多個自變數的方程，本書為它單獨設了一章。
- 最最佳化：在給定條件下尋找某個量的最佳值。
- 應用機率與統計：最後一個專題章節。
評析
優點
- 明確的學習方法。 出版社介紹的是一種「邊做邊學」的理念，目的是幫助學生帶著理解運用數學解決工程問題，並配有「大量工程例項」。
- 計算是書的一部分。 Pearson稱本書整合了MATLAB、MAPLE和R，這與出版社強調的計算機化系統建模、分析與設計工具相一致。
- 連續時間與離散時間的工具並列。 拉普拉斯變換和z變換是相鄰的兩個獨立章節，目錄中還有最最佳化和應用機率統計，因此本書的內容超出了經典分析。
- 歷經多版的書。 本書是第五版。布里斯托大學的研究記錄列有1999年的第二版，共989頁，說明這是一本長期使用的教材；2018年版在Google圖書中記為1,016頁。
侷限
- 預設讀者已學過一年級內容。 沒有哪個章節標題涵蓋微積分、常微分方程的解析方法或複數基礎；出版社說明本書建立在 Modern Engineering Mathematics 之上。缺少這一背景的學生需要補讀該書或同等的教材。
- 每個大主題只有一章。 複變函數、偏微分方程、最最佳化以及機率與統計在目錄中各佔一章，因此每一項很可能都是精簡的處理；若要完整學習其中任何一門課程，還需要專門的教材。
- 篇幅。 約1,000頁的篇幅意味著，一般的課程模組只會用到十二個主題中的一部分。
在課程中的定位
在本課程書單中，本書是Kreyszig的 Advanced Engineering Mathematics 的替代選擇，用於一年級課程之後的二年級數學。Kreyszig的單卷本分為七個部分、25章，用六章講複分析，並把解析的常微分方程方法單列為一個部分；James等人的書分十二個條目，複變函數只有一章，沒有講常微分方程解析方法的章節，但增加了z變換，並把矩陣分析放在最前面。
讀本書之前應先讀一年級的教材：Stroud的 Engineering Mathematics 是自定進度的編序式教材，從基礎代數講到微積分、矩陣、複數、微分方程和拉普拉斯變換；Croft與Davison的 Mathematics for Engineers 是一年級教材，從算術和代數講到微積分、矩陣、複數和微分方程。出版社自己的配套教材 Modern Engineering Mathematics 是最直接的準備。讀完本書之後，Riley、Hobson與Bence的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 繼續講格林函數、變分法、張量和群論；Bender與Orszag講漸近方法與擾動理論的那一卷，則是求近似解的研究生教材。
如何使用本書
本書適合已經學完一年級數學課程、現在需要用於計算機化建模與分析的高等方法的工科學生。由於Pearson稱本書承接 Modern Engineering Mathematics，開始之前應先確認自己已熟悉該書的內容。
依章節順序，實用的安排如下：
- 從矩陣分析開始，它是目錄中的第一個專題章節。
- 按順序讀變換各章：先拉普拉斯變換，再z變換，再傅立葉級數與傅立葉變換，然後是目錄中緊隨其後的偏微分方程。
- 其餘章節視為相對獨立的模組：常微分方程的數值解、向量微積分、複變函數、最最佳化以及應用機率與統計，可以按所修的模組選讀。
利用出版社提到的MATLAB、MAPLE或R來核對手算結果，而不是取代手算。規劃學期之前，請先檢視自己手中那一冊目錄頁上的小節列表。