01 / 導讀
導讀
引用
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer. (Reprint of the 1978 McGraw-Hill edition.)
章節概要
全書有十一章和一個附錄，約 590 頁。出版社稱它是對漸近方法和攝動理論清晰、實用而自足的闡述，說明當精確解不可得、而蠻力數值方法又可能得不到有用結果時，如何求微分方程和差分方程的近似解析解。全書從對微分方程和差分方程的回顧開始，發展局部漸近方法，講解攝動與求和理論，最後以全域性方法收尾：邊界層理論、WKB 理論和多尺度分析。出版社補充說，書中強調應用，注重細緻而不求嚴格，並配有大量例子、190 幅計算機生成的圖表（比較近似解與精確解）、600 多道難度不一的習題，以及一個概述特殊函式性質的附錄。施普林格版是原麥格勞–希爾版的重印，標題只加了羅馬數字和一個副標題。
第 1–2 章：常微分方程；差分方程
開篇兩章回顧了全書其餘部分要加以近似的兩類方程。第 1 章講常微分方程（第 3–35 頁），第 2 章講差分方程（第 36–57 頁）。二者合起來提供了精確理論，用以檢驗後面的各種近似。
第 3–5 章：線性微分方程的近似解；非線性微分方程的近似解；差分方程的近似解
這三章構成區域性分析的核心，篇幅分別約為 85、60 和 40 頁。先是線性微分方程，然後是非線性微分方程，再是差分方程。這就是出版社所說的「針對微分方程和差分方程的區域性漸近方法」。
第 6 章：積分的漸近展開
第六章約 70 頁，由方程轉向積分，討論積分的漸近展開。
第 7–8 章：攝動級數；級數求和
接下來的兩章討論攝動級數和級數求和。出版社把這部分稱為「攝動與求和理論」。
第 9–11 章：邊界層理論；WKB 理論；多尺度分析
最後三章分別約 65、60 和 33 頁，發展全域性方法：邊界層理論（第 9 章）、WKB 理論（第 10 章）和多尺度分析（第 11 章）。它們依託前面的區域性方法和攝動技巧。附錄概述特殊函式的性質，書末有參考文獻和索引。
核心概念
第 1–2 章：微分方程與差分方程
- 微分方程與差分方程：首先回顧、並在全書中加以近似的兩類方程。
第 3–6 章：區域性分析與積分
- 區域性漸近分析：確定線性和非線性微分方程以及差分方程的解在某個極限下的行為。
- 積分的漸近展開：當某個引數變得很大時對積分作近似。
- 近似與精確結果的對照：出版社強調的近似解與精確解的比較。
第 7–8 章：攝動與求和
- 攝動級數：按小引數展開。
- 級數求和：由級數得到有用數值的方法。
第 9–11 章：全域性方法
- 邊界層理論：在變化劇烈的區域之間匹配解。
- WKB 理論：含大引數或小引數的微分方程的近似解。
- 多尺度分析：處理具有多個特徵尺度的問題的方法。
評析
優點
- 以近似檢驗為中心的方法書。 出版社說書中有 190 幅計算機生成的圖表，比較近似解與精確解，因此讀者不僅學會如何推導，還能看到每種近似有多好。
- 有意的遞進。 章節順序遵循出版社給出的提綱：回顧、區域性方法、攝動與求和，然後是全域性方法。因此全域性各章可以沿用前面引入的工具。
- 習題很多。 出版社統計有 600 多道難度不一的習題，書末還有特殊函式的附錄。
- 專業評論者的推薦。 A·D·伍德（A. D. Wood）在《數學評論》（Mathematical Reviews）中評論 1999 年重印版（出版社引用），稱它是面向碩士生或剛入門研究生的漸近與攝動方法的絕佳入門，文風清新生動，其中比較精確方法與近似方法結果的圖表在當時超前於時代。
侷限
- 儘管原書名如此，它並非本科教材。 伍德指出，原書名使人以為這是面向科學家和工程師的本科教材，其實並非如此。它面向碩士生和剛入門的研究生，不過部分內容可用於應用數學或數學物理的大四本科課程。
- 重細緻而不求嚴格。 按出版社自己的說法，書中強調細緻而非嚴格。需要漸近命題的形式證明的讀者，要另找更嚴格的資料。
- 只是第一卷。 書名帶有羅馬數字 I，副標題指明為漸近方法與攝動理論，超出這一範圍的主題不在本卷中。
- 1978 年版的重印。 施普林格版只改了書名（伍德指出加了羅馬數字和副標題），所以不含該領域及數值計算後來的發展。
在課程中的定位
這是工程數學書單中先進的專門書籍，假定讀者已掌握其他書的內容。Erwin Kreyszig 的 Advanced Engineering Mathematics 是一部寬廣的參考式教材，涵蓋微分方程、線性代數、向量微積分、傅立葉與複分析和數值方法；Glyn James 的 Advanced Modern Engineering Mathematics 是英國的二年級教材。Anthony Croft 和 Robert Davison 的 Mathematics for Engineers 以及 K. A. Stroud 的 Engineering Mathematics 是從算術和代數起步的一年級與編序式教材。Riley、Hobson 和 Bence 的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 是一部大型單卷參考書，延伸到格林函式、變分法、張量、群論和特殊函式。
應在讀完一整套工程數學課程、掌握常微分方程與複變函式之後再讀 Bender 和 Orszag。想要更廣的工具箱可用 Riley、Hobson 和 Bence；當問題含有小引數或大引數、需要近似的解析答案時，再轉向 Bender 和 Orszag。
如何使用本書
出版社把本書定位為面向研究生和高年級本科生，並稱它只假定讀者對微分方程和複變函式略有了解。出版社所引用的評論者把它放在碩士或剛入門研究的水平，所以「略有了解」最好理解為最低要求：能熟練處理級數、常微分方程和複變函式，會使閱讀容易得多。
實用的讀法：
- 核心： 第 1 至 3 章作為基礎，然後是講積分的第 6 章，以及講攝動與求和的第 7、8 章。
- 按需要選擇： 第 9 至 11 章是針對邊界層、WKB 和多尺度問題的全域性方法。第 4、5 章可按需要學習非線性方程和差分方程。
- 做習題並做對照。 嘗試不同難度的習題，並像書中那樣，把每個近似與精確解或數值解對照檢驗。
- 把特殊函式附錄當作參考， 在演算例子時隨時查閱。