01 / 導讀
導讀
引用
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.
章節概要
全書共25章，分為A至G七個部分，其後有五個附錄：參考文獻、奇數題答案、輔助材料、補充證明和數表。每章末尾都有複習題與習題以及一頁本章摘要。各部分和各章的開篇都說明了該章需要的預備知識，以及在較短的課程中可以略去的小節；例如第1章把積分學列為預備知識，並標明1.6節和1.7節可以略去。
A部分：常微分方程（第1–6章）
A部分開宗明義，提出兩個目標：求解常微分方程的主要方法，以及建模的實踐，即把物理情境轉化為數學模型。第1章「一階常微分方程」從基本概念與建模講起，經過方向場與歐拉方法、可分離方程與正合方程、線性方程與伯努利方程、正交軌線（選讀），直到解的存在唯一性。第2章「二階線性常微分方程」討論齊次與非齊次方程、朗斯基行列式和參數變易法，並配有自由振動、受迫振動、共振和電路的建模小節。第3章把這些結果推廣到高階。第4章「常微分方程組、相平面、定性方法」先用一節回顧矩陣與向量，再討論相平面、臨界點和穩定性。第5章「常微分方程的級數解、特殊函數」講冪級數法與弗羅貝尼烏斯法，以及勒讓德函數和貝塞爾函數。第6章「拉普拉斯變換」講變換本身、平移定理、單位階梯函數與狄拉克δ函數、卷積、常微分方程組，並附拉普拉斯變換表。
B部分：線性代數、向量微積分（第7–10章）
第7章「線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程組」涵蓋矩陣運算、高斯消去法、秩、行列式、逆矩陣，以及作為選讀內容的向量空間與線性變換。第8章專門討論矩陣特徵值問題，包括對稱、反對稱與正交矩陣、對角化和二次形式。第9章和第10章轉向向量微分學（梯度、散度、旋度；曲線、弧長、曲率與扭率）和向量積分學（線積分與面積分、格林定理、高斯散度定理和斯托克斯定理）。
C部分：傅立葉分析、偏微分方程（第11–12章）
第11章依次講傅立葉級數、受迫振動、斯圖姆–劉維爾問題與正交級數、傅立葉積分，以及餘弦、正弦和傅立葉變換，其中包括離散傅立葉變換與快速傅立葉變換。第12章把這些工具用於波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程，內容有分離變數法、達朗貝爾解、矩形膜與圓形膜，以及用拉普拉斯變換解偏微分方程。
D部分：複分析（第13–18章）
六章依次為：複數與複變函數、復微分（柯西–黎曼方程、初等函數），復積分（柯西積分定理與積分公式），冪級數與泰勒級數（一致收斂為選讀），洛朗級數與留數積分，共形對映（黎曼曲面為選讀），以及複分析在靜電場、熱問題和流體流動中的位勢理論應用。
E部分：數值分析（第19–21章）
該部分以一段軟體說明開頭。第19章「一般數值方法」涵蓋方程求根的疊代、內插、仿樣，以及數值積分與數值微分。第20章講數值線性代數：高斯消去法、LU分解、疊代法、病態與範數、最小平方法，以及特徵值的計算方法。第21章講常微分方程與偏微分方程的數值方法。A部分的開篇指出，21.1–21.3節（常微分方程的數值方法）可以在第1章或第2章之後直接閱讀。
F部分：最最佳化、圖（第22–23章）
第22章講無約束最最佳化中的最速下降法、線性規劃以及單體法及其困難。第23章講圖與有向圖、最短路問題、迪傑斯特拉演算法、最小生成樹、網路流與福特–富爾克森演算法，以及二部圖與指派問題。
G部分：機率、統計（第24–25章）
第24章「資料分析、機率論」從資料的表示講起，經過機率、隨機變數，以及二項、泊松、超幾何和常態分布，到多個隨機變數的分布。第25章「數理統計」涵蓋參數估計、信賴區間、假設檢定、品質管制與驗收抽樣、卡方適合度檢驗、無母數檢驗，以及迴歸與相關。
核心概念
A部分：常微分方程
- 數學建模：根據物理情境列出方程、求解並解釋結果，也是A部分所點明的兩個目標之一。
- 方向場與歐拉方法：不必求出解析解，就能用圖形和數值方式追蹤y' = f(x, y)的解。
- 相平面與臨界點：常微分方程組的定性影像，並配有穩定性判別準則。
- 拉普拉斯變換：把常微分方程及方程組化為代數問題的變換，藉助階梯函數和狄拉克δ函數處理不連續的輸入。
B部分和C部分：線性代數、向量微積分、傅立葉分析與偏微分方程
- 特徵值問題：尋找只被矩陣拉伸的向量，是對角化和二次形式的基礎。
- 散度定理與斯托克斯定理：第10章的積分定理，把面積分與體積分或邊界積分聯絡起來。
- 傅立葉級數、積分與變換：對週期函數與非週期函數的展開，用來求解第12章的偏微分方程。
- 分離變數法：求解波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程的標準途徑。
D至G部分
- 留數積分：根據函數的奇異點計算復積分與實積分。
- 共形對映：保角對映，用於位勢問題。
- 數值線性代數：LU分解、疊代求解、範數與條件數，以及特徵值方法。
- 單體法：線性規劃的標準演算法。
- 假設檢定與迴歸：第25章的主要推斷工具。
評析
優點
- 一冊之內涵蓋面廣。 目錄從常微分方程、線性代數一直到偏微分方程、複分析、數值方法、最最佳化與統計，因此一本書可以服務於多門工程數學課程。Wiley的介紹稱第十版增加了更詳細的例題和更多應用性習題。
- 便於選讀。 各章開篇給出預備知識並列出可略去的小節，有些小節標明為選讀或「供參考」（4.0節的矩陣與向量、7.6節的行列式、9.6節和10.3節的微積分複習），常微分方程的數值方法部分也可提前閱讀。教師和自學者因此可以裁剪出自己的學習路徑。
- 建模融入全書。 「建模：自由振動」「建模：受迫振動、共振」「建模：電路」「建模：膜、二維波動方程」等標題表明，書中把物理情境的建立當作數學的一部分來處理。
- 練習與自檢。 第1章是Wiley公開的試讀章節，其中有習題組、建模題、歐拉方法題和電腦代數系統專案，章末有複習題和摘要。奇數題答案收在附錄2。
侷限
- 廣而不深。 七個領域共用印刷版約1,260頁：例如機率與統計只有兩章，數值方法三章。需要完整學習某一門課程（如統計或數值分析）的讀者，很可能還需要一本專門的教材。
- 章節之間存在依賴。 各部分並非完全獨立：第12章用第11章的傅立葉級數求解偏微分方程，12.12節還用到第6章的拉普拉斯變換。跳著讀的學生需要留意各章開篇所列的預備知識。
- 版本與形式不一。 第十版有多種形式：Wiley印度版標註1,148頁，目錄止於F部分；而Google圖書和Wiley電子教材頁面則分別給出1,264頁和1,280頁。如果需要機率與統計，應確認所用版本含G部分。
在課程中的定位
在本課程書單中，Kreyszig是內容寬廣的二年級以上參考書。有兩本書從起點開始為它做準備：Stroud的 Engineering Mathematics 是自定步調的編序式教材，從基礎代數講到拉普拉斯變換；Croft與Davison的 Mathematics for Engineers 是一年級教材，從算術和代數講到微積分、矩陣、複數和微分方程。微積分尚不熟練的學生應先學其中一本。
與Kreyszig並列的是James等人的 Advanced Modern Engineering Mathematics。據出版社介紹，它以一本一年級配套教材為基礎，十二章分別講矩陣分析、常微分方程的數值解、向量微積分、一章複變函數、拉普拉斯變換與z變換、傅立葉方法、偏微分方程、最最佳化以及機率統計。Kreyszig用六章講複分析，並把常微分方程的求解方法單獨列為一個部分；James則多了z變換。在這兩本之後，Riley、Hobson與Bence的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 延伸到格林函數、變分法、張量和群論；Bender與Orszag講漸近方法與擾動理論的那一卷，則是求近似解析解的研究生教材。
如何使用本書
Wiley的介紹稱，本書面向通過實際問題接觸高等數學的工程師和電腦科學家。適合修完微積分課程、需要掌握數學建模標準方法的學生。第1章只要求積分學；之後各部分，尤其是向量、傅立葉和複分析各章，要用到前面的內容。
較實用的做法是把它當作配合具體課程的參考書，而不是從頭讀到尾：
- 多數工程課程的核心： 第1–2章和第6章（常微分方程與拉普拉斯變換）、第7–8章（矩陣與特徵值）、第9–10章（向量微積分）、第11–12章（傅立葉方法與偏微分方程）。
- 按需選讀： 高階方程、方程組與特殊函數讀第3–5章；複分析課程或位勢理論應用讀第13–18章；數值方法讀第19–21章，其中21.1–21.3節可在第1章或第2章之後直接使用；最最佳化與統計讀第22–23章和第24–25章。
- 初讀可跳過： 標明選讀的小節，如1.6、2.3、7.9、8.5、15.5和17.5。
先做例題；電腦代數系統只用來核對手算結果（開篇第1章本身就這樣建議）；複習時利用章末摘要和複習題。