Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide（物理与工程中的数学方法）

引用

Riley, K. F., Hobson, M. P., & Bence, S. J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide (3rd ed.). Cambridge University Press.

章节概要

第三版共三十一章，约1,300页。作者在第一版序言中说，他们只假定读者具备大学物理科学课程新生通常应有的数学基础（英国的A-level水平，美国的初级学院水平），前六章汇集读者可能已经熟悉的内容，并将其扩展、应用于大学一年级的问题。其余部分旨在至少涵盖物理科学本科生会遇到的数学，本书也适合研究生阶段的起步，并可作为参考书。作者分三个阶段呈现每个主题：定性的引入；更形式化的陈述，其中有意回避存在性和收敛性之类的问题；以及完整演算的例题。每章末尾有习题，奇数编号习题附有提示和答案。

第1–6章：预备代数；预备微积分；复数与双曲函数；级数与极限；偏微分；多重积分

开头一组内容复习并扩展中学和大一的知识：多项式方程、部分分式、二项展开和证明方法；微分与积分；复数、棣莫弗定理和双曲函数；级数、幂级数、泰勒级数和极限；偏导数、驻值和条件极值；以及带变量替换的二重和三重积分。预备代数一章是第二版为适应新生准备不足而加的。

第7–9章：向量代数；矩阵与向量空间；简正模

向量代数涵盖标量积与向量积、直线、平面和距离。矩阵一章对向量空间、线性算子、行列式、逆矩阵、特征值、对角化、二次型和联立方程作了较长的论述，以奇异值分解结束。简正模是较短的一章，单独论述振动系统、对称性和瑞利–里茨方法。

第10–11章：向量微积分；线积分、面积分和体积分

向量的微分与积分、空间曲线、标量场和向量场、梯度、散度与旋度，以及柱坐标、球坐标和一般曲线坐标；然后是线积分、面积分和体积分，包括格林定理、散度定理、斯托克斯定理及其物理应用。

第12–13章：傅里叶级数；积分变换

傅里叶级数，包括狄利克雷条件、对称性、复傅里叶级数和帕塞瓦尔定理。积分变换一章讨论傅里叶变换（含不确定性原理、狄拉克δ函数、卷积与相关）和拉普拉斯变换。

第14–17章：一阶常微分方程；高阶常微分方程；常微分方程的级数解；微分方程的本征函数方法

这几章从可分离变量方程和一阶线性方程出发，经常系数和变系数方程、格林函数与参数变易法，到围绕常点和正则奇点的级数解，再到厄米算子和斯图姆–刘维尔理论。

第18–19章：特殊函数；量子算符

这两章都是第三版新增的。特殊函数一章系统论述勒让德、切比雪夫、贝塞尔、拉盖尔和厄米函数，以及超几何函数与伽马函数；序言指出，它们大多是超几何函数或合流超几何函数的特例。量子算符一章使用不依赖坐标的算符，涉及对易子、角动量以及产生和湮灭算符。

第20–21章：偏微分方程：通解与特解；偏微分方程：分离变量法及其他方法

第一章介绍波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程、泊松方程和薛定谔方程，通解与特解，特征线和唯一性。第二章讲分离变量法、极坐标、积分变换方法和格林函数。

第22–23章：变分法；积分方程

欧拉–拉格朗日方程、条件变分、费马原理和哈密顿原理，以及本征值的估计；然后是积分方程，包括诺伊曼级数、弗雷德霍姆理论和施密特–希尔伯特理论。

第24–25章：复变量；复变量的应用

解析函数、分支切割、保角变换、柯西定理和留数定理。应用一章是本版新增的，涉及复势、零点的位置、级数求和、拉普拉斯逆变换、艾里积分、WKB方法，以及鞍点法和最速下降法的近似。

第26–29章：张量；数值方法；群论；表示论

笛卡儿张量与一般张量、度规张量、克里斯托费尔符号和测地线；方程、积分（含高斯积分和蒙特卡罗方法）与微分方程的数值方法；以及应用于分子、量子力学和简正模的群论与表示论。

第30–31章：概率；统计

概率包括公理、分布、母函数和联合分布；统计包括估计量、最大似然、最小二乘和假设检验。

核心概念

第1–13章：基础

• 特征值与特征向量：用于对角化、二次型和简正模的矩阵工具。
• 向量算子与积分定理：梯度、散度、旋度，以及格林、高斯和斯托克斯定理。
• 傅里叶变换与拉普拉斯变换：在函数与其谱之间转换以解决问题。

第14–23章：微分方程与变分方法

• 斯图姆–刘维尔理论与格林函数：本征函数展开，以及用响应函数求解。
• 特殊函数：由具有特定对称性的物理问题产生的解族。
• 分离变量：把偏微分方程化为常微分方程。
• 变分法：求使某个积分取驻值的函数。

第24–31章：高级与应用主题

• 留数与围道积分：通过复分析计算积分。
• 张量：在坐标变换下按规定方式变换的量。
• 群表示与特征标：系统地利用对称性。
• 估计与假设检验：处理数据的统计方法。

评析

优点

• 一卷之内覆盖极广。 目录从中学代数一直到张量、群论、数值方法、概率和统计。读者不必换书，就能找到物理科学本科阶段所需的大部分数学。
• 一致的呈现模式。 序言描述了每个主题的物理引入、形式化陈述和完整例题，作者还明确说，由于学生不喜欢，他们避免了只演算一半的例题。
• 经过设计的习题。 第三版有800多道习题。奇数编号习题的提示和概要答案印在书中，400多道奇数编号习题的完整解答在单独的手册中，偶数编号习题则留作无辅助的家庭作业。
• 不省略的记号。 作者说，他们把偏导数写成较长的常见形式而不是下标形式，以便学生同时思考其物理含义。

局限

• 篇幅与深度的取舍。 全书三十一章，超过1,300页，各主题是以够用的深度引入的；作者有意搁置存在性、收敛性和极限交换的问题，所以要求严格证明的读者需要另备纯数学教材。
• 难度攀升很大。 序言说第三版总体水平没有变化，但顺序从一年级的复习一路走到群论、表示论和WKB方法的章节，因此后面各章比最初六章需要高得多的数学成熟度。
• 面向物理科学家。 量子算符、简正模和分子的表示论等许多应用取自物理，工程专业的读者也许会选择跳过。
• 一半习题的解答受限。 偶数编号习题在书中没有提示或答案，完整解答只通过受密码保护的网站提供给经认证的教师，自学者对这些习题没有核对手段。

在课程中的定位

在这门工程数学课程中，Riley、Hobson和Bence是高阶的单卷参考书。Croft和Davison的 Mathematics for Engineers 以及Stroud和Booth的 Engineering Mathematics 是从算术和代数出发、循序渐进的一年级教材，覆盖了第1–6章所复习的大部分内容。Kreyszig的 Advanced Engineering Mathematics 是各部分基本独立的、宽广的参考书式工程教材，James的 Advanced Modern Engineering Mathematics 则是讲授矩阵、变换、向量微积分、复变量和微分方程的英国二年级教材。

Riley、Hobson和Bence在中间章节与Kreyszig和James有重叠，但在格林函数、张量、群论、特殊函数和变分法上走得更远。Bender和Orszag的 Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers 是讲授近似解析方法的研究生教材，是读完本书WKB和渐近内容之后的自然下一步。

如何使用本书

序言只假定大学物理科学课程之初通常遇到的数学，第1–6章复习并扩展这一基础。本书适合物理、工程和化学专业的学生在数年间使用，也可作为研究生阶段的参考书。

实用的安排：

• 一、二年级： 按顺序读第1–13章，与先前课程重复的可以跳过。关于矩阵与简正模的第8、9章，以及关于向量微积分的第10、11章，是需求最广的。
• 微分方程： 第14–17章和第20–21章，以关于傅里叶与拉普拉斯方法的第12、13章作为基于变换的方法的前提。
• 按领域选读： 特殊函数、量子算符和变分方法读第18–19章和第22–23章；复变量读第24–25章；张量读第26章；群论读第28–29章；概率与统计读第30–31章；数值计算读第27章。

做奇数编号习题，并对照书中印出的提示核对；需要完整解答时，使用学生解答手册。把本书留作参考书，以便在后续课程用到新技巧时回头查阅。