Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide（物理・工学のための数学的方法）

引用

Riley, K. F., Hobson, M. P., & Bence, S. J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide (3rd ed.). Cambridge University Press.

章の要約

第3版は31章、約1,300ページからなる。初版の序文で著者らは、大学で自然科学の課程を始める学生に期待される数学（英国ではAレベル、米国ではジュニアカレッジ）だけを前提とし、最初の6章は読者がすでに知っているかもしれない話題を集め、1年次の問題に拡張・応用したものだと述べている。残りの部分は、自然科学の学部生が出会う数学を少なくとも網羅することを目指しており、大学院の入り口にも、参考書としても適する。著者らは各話題を三段階で示す。定性的な導入、存在や収束の問題を意図的に避けたより形式的な提示、そして完全に解かれた例題である。各章の末尾には演習問題があり、奇数番号の問題にはヒントと解答がある。

第1–6章：予備的な代数；予備的な微積分；複素数と双曲線関数；級数と極限；偏微分；多重積分

冒頭のまとまりは、高校レベルと1年次の内容を復習し拡張する。多項式方程式、部分分数、二項展開、証明の方法。微分と積分。複素数、ド・モアブルの定理、双曲線関数。級数、べき級数、テイラー級数、極限。偏導関数、停留値、拘束条件つきの極値。変数変換を伴う二重積分と三重積分。予備的な代数の章は、入学者の準備が弱くなったことに対応して第2版で加えられた。

第7–9章：ベクトル代数；行列とベクトル空間；規準モード

ベクトル代数はスカラー積とベクトル積、直線、平面、距離を扱う。行列の章は、ベクトル空間、線形作用素、行列式、逆行列、固有値、対角化、2次形式、連立1次方程式を長く扱い、特異値分解で終わる。規準モードは短い章で、振動系、対称性、レイリー・リッツ法を独自に扱う。

第10–11章：ベクトル解析；線積分・面積分・体積積分

ベクトルの微分と積分、空間曲線、スカラー場とベクトル場、勾配・発散・回転、円柱座標・球座標・一般の曲線座標。続いて、グリーンの定理、発散定理、ストークスの定理とその物理的応用を伴う線積分・面積分・体積積分。

第12–13章：フーリエ級数；積分変換

ディリクレ条件、対称性、複素フーリエ級数、パーセバルの定理を含むフーリエ級数。積分変換の章はフーリエ変換（不確定性原理、ディラックのデルタ関数、畳み込みと相関を含む）とラプラス変換を扱う。

第14–17章：1階常微分方程式；高階常微分方程式；常微分方程式の級数解；微分方程式の固有関数法

これらの章は、変数分離形や線形の1階方程式から、定数係数・変数係数、グリーン関数、定数変化法を経て、通常点と確定特異点まわりの級数解へ、さらにエルミート作用素とシュトゥルム・リウヴィル理論へ進む。

第18–19章：特殊関数；量子作用素

どちらの章も第3版で加えられた。特殊関数の章は、ルジャンドル、チェビシェフ、ベッセル、ラゲール、エルミートの各関数と、超幾何関数、ガンマ関数を体系的に述べる。序文は、そのほとんどが超幾何関数または合流型超幾何関数の特別な場合であることを示している。量子作用素の章は、座標に依存しない作用素を用い、交換子、角運動量、生成・消滅演算子を扱う。

第20–21章：偏微分方程式：一般解と特解；偏微分方程式：変数分離法とその他の方法

最初の章は、波動方程式、拡散方程式、ラプラス方程式、ポアソン方程式、シュレーディンガー方程式、一般解と特解、特性曲線、一意性を紹介する。第2の章は、変数分離法、極座標、積分変換法、グリーン関数を扱う。

第22–23章：変分法；積分方程式

オイラー・ラグランジュ方程式、拘束つき変分、フェルマーの原理とハミルトンの原理、固有値の推定。続いて、ノイマン級数、フレドホルム理論、シュミット・ヒルベルト理論を含む積分方程式。

第24–25章：複素変数；複素変数の応用

解析関数、分枝切断、等角写像、コーシーの定理、留数定理。応用の章は今回の版の新しい章で、複素ポテンシャル、零点の位置、級数の和、逆ラプラス変換、エアリー積分、WKB法、鞍点法と最急降下法による近似を扱う。

第26–29章：テンソル；数値計算法；群論；表現論

デカルトテンソルと一般のテンソル、計量テンソル、クリストッフェル記号、測地線。方程式、積分（ガウス法とモンテカルロ法を含む）、微分方程式の数値計算法。分子、量子力学、規準モードへの応用を伴う群論と表現論。

第30–31章：確率；統計

確率は公理、分布、母関数、同時分布を扱う。統計は推定量、最尤法、最小二乗法、仮説検定を扱う。

主要概念

第1–13章：基礎

• 固有値と固有ベクトル：対角化、2次形式、規準モードのための行列の道具。
• ベクトル作用素と積分定理：勾配、発散、回転と、グリーン、ガウス、ストークスの定理。
• フーリエ変換とラプラス変換：関数とそのスペクトルの間を移って問題を解くこと。

第14–23章：微分方程式と変分法

• シュトゥルム・リウヴィル理論とグリーン関数：固有関数展開と、応答関数による解法。
• 特殊関数：特定の対称性を持つ物理問題から生じる解の族。
• 変数分離：偏微分方程式を常微分方程式に帰着すること。
• 変分法：積分を停留にする関数を求めること。

第24–31章：発展的・応用的な話題

• 留数と周回積分：複素解析による積分の計算。
• テンソル：座標変換のもとで定められた変換をする量。
• 群の表現と指標：対称性の体系的な利用。
• 推定と仮説検定：データのための統計的方法。

批判的分析

長所

• 一冊でのきわめて広い範囲。 目次は高校の代数からテンソル、群論、数値計算法、確率、統計にまで及ぶ。物理系の学部課程で必要な数学の大半を、本を替えずに見つけられる。
• 一貫した提示の型。 序文は、各話題について物理的な導入、形式的な提示、完全に解かれた例題を置くと述べ、学生が好まないという理由で、途中までしか解かれていない例題を避けたと明言している。
• 意図的に設計された演習。 第3版には800題を超える演習がある。奇数番号の問題にはヒントと略解が本文に印刷され、400題を超える奇数番号の問題には別冊に完全な解答があり、偶数番号の問題は補助なしの宿題用に残されている。
• 省略しない記法。 著者らは、学生が物理的な意味を同時に考えられるよう、偏導関数を添え字ではなく見慣れた長い形で書いていると述べている。

短所

• 長さと深さのトレードオフ。 31章、1,300ページを超えるため、各話題は実用的な深さで導入される。著者らは存在、収束、極限の交換の問題を意図的に脇に置いているので、厳密な証明を求める読者には純粋数学の教科書が必要になる。
• 難易度が大きく上がる。 序文は第3版で全体の水準は変わっていないと述べるが、順序は1年次の復習から群論、表現論、WKB法の章へ進むので、後半の章は最初の6章よりずっと高い数学的成熟を求める。
• 自然科学者向け。 量子作用素、規準モード、分子の表現論など、多くの応用は物理から取られており、工学の読者は飛ばしてもよいかもしれない。
• 半分の演習に限られた解答。 偶数番号の演習には本中にヒントも解答もなく、完全な解答はパスワード保護のサイトで認定された教員にしか提供されないので、独習者は確認の手段がない。

コースにおける位置づけ

この工学数学のコースの中で、Riley、Hobson、Benceは上級の一冊本の参考書にあたる。CroftとDavisonの Mathematics for Engineers とStroudとBoothの Engineering Mathematics は、算数と代数から始める1年次向けの段階的な教科書で、第1–6章が復習する内容の多くを扱う。Kreyszigの Advanced Engineering Mathematics は、各部分がほぼ独立した幅広い参考書型の工学教科書であり、Jamesの Advanced Modern Engineering Mathematics は行列、変換、ベクトル解析、複素変数、微分方程式を扱う英国の第2レベルの教科書である。

Riley、Hobson、Benceは中盤の章でKreyszigやJamesと重なるが、グリーン関数、テンソル、群論、特殊関数、変分法にさらに踏み込む。BenderとOrszagの Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers は近似的な解析手法を扱う大学院の教科書で、本書のWKB法や漸近的な内容の自然な次の一歩となる。

本書の使い方

序文は、大学の自然科学の課程の初めに通常出会う数学だけを前提とし、第1–6章がその土台を復習し拡張する。本書は物理、工学、化学の学生に数年にわたって役立ち、大学院での学習にも参考書として使える。

実践的な進め方：

• 1・2年次： 第1–13章を順に。以前の科目と重なる部分は飛ばしてよい。行列と規準モードの第8・9章、ベクトル解析の第10・11章が最も広く必要とされる。
• 微分方程式： 第14–17章と第20–21章。変換に基づく方法の前提として、フーリエ法とラプラス法の第12・13章を学ぶ。
• 分野に応じた任意： 特殊関数、量子作用素、変分法には第18–19章と第22–23章。複素変数には第24–25章。テンソルには第26章。群論には第28–29章。確率・統計には第30–31章。数値計算には第27章。

奇数番号の演習を解き、印刷されたヒントで確認すること。完全な解答が必要なときは、学生用解答集を使う。後の科目で新しい技法が出てきたときに戻れる参考書として、手元に置いておくとよい。