01 / 导读
导读
引用
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer. (Reprint of the 1978 McGraw-Hill edition.)
章节概要
全书有十一章和一个附录，约 590 页。出版社称它是对渐近方法和摄动理论清晰、实用而自足的阐述，说明当精确解不可得、而蛮力数值方法又可能得不到有用结果时，如何求微分方程和差分方程的近似解析解。全书从对微分方程和差分方程的回顾开始，发展局部渐近方法，讲解摄动与求和理论，最后以全局方法收尾：边界层理论、WKB 理论和多尺度分析。出版社补充说，书中强调应用，注重细致而不求严格，并配有大量例子、190 幅计算机生成的图表（比较近似解与精确解）、600 多道难度不一的习题，以及一个概述特殊函数性质的附录。施普林格版是原麦格劳–希尔版的重印，标题只加了罗马数字和一个副标题。
第 1–2 章：常微分方程；差分方程
开篇两章回顾了全书其余部分要加以近似的两类方程。第 1 章讲常微分方程（第 3–35 页），第 2 章讲差分方程（第 36–57 页）。二者合起来提供了精确理论，用以检验后面的各种近似。
第 3–5 章：线性微分方程的近似解；非线性微分方程的近似解；差分方程的近似解
这三章构成局部分析的核心，篇幅分别约为 85、60 和 40 页。先是线性微分方程，然后是非线性微分方程，再是差分方程。这就是出版社所说的“针对微分方程和差分方程的局部渐近方法”。
第 6 章：积分的渐近展开
第六章约 70 页，由方程转向积分，讨论积分的渐近展开。
第 7–8 章：摄动级数；级数求和
接下来的两章讨论摄动级数和级数求和。出版社把这部分称为“摄动与求和理论”。
第 9–11 章：边界层理论；WKB 理论；多尺度分析
最后三章分别约 65、60 和 33 页，发展全局方法：边界层理论（第 9 章）、WKB 理论（第 10 章）和多尺度分析（第 11 章）。它们依托前面的局部方法和摄动技巧。附录概述特殊函数的性质，书末有参考文献和索引。
核心概念
第 1–2 章：微分方程与差分方程
- 微分方程与差分方程：首先回顾、并在全书中加以近似的两类方程。
第 3–6 章：局部分析与积分
- 局部渐近分析：确定线性和非线性微分方程以及差分方程的解在某个极限下的行为。
- 积分的渐近展开：当某个参数变得很大时对积分作近似。
- 近似与精确结果的对照：出版社强调的近似解与精确解的比较。
第 7–8 章：摄动与求和
- 摄动级数：按小参数展开。
- 级数求和：由级数得到有用数值的方法。
第 9–11 章：全局方法
- 边界层理论：在变化剧烈的区域之间匹配解。
- WKB 理论：含大参数或小参数的微分方程的近似解。
- 多尺度分析：处理具有多个特征尺度的问题的方法。
评析
优点
- 以近似检验为中心的方法书。 出版社说书中有 190 幅计算机生成的图表，比较近似解与精确解，因此读者不仅学会如何推导，还能看到每种近似有多好。
- 有意的递进。 章节顺序遵循出版社给出的提纲：回顾、局部方法、摄动与求和，然后是全局方法。因此全局各章可以沿用前面引入的工具。
- 习题很多。 出版社统计有 600 多道难度不一的习题，书末还有特殊函数的附录。
- 专业评论者的推荐。 A·D·伍德（A. D. Wood）在《数学评论》（Mathematical Reviews）中评论 1999 年重印版（出版社引用），称它是面向硕士生或刚入门研究生的渐近与摄动方法的绝佳入门，文风清新生动，其中比较精确方法与近似方法结果的图表在当时超前于时代。
局限
- 尽管原书名如此，它并非本科教材。 伍德指出，原书名使人以为这是面向科学家和工程师的本科教材，其实并非如此。它面向硕士生和刚入门的研究生，不过部分内容可用于应用数学或数学物理的大四本科课程。
- 重细致而不求严格。 按出版社自己的说法，书中强调细致而非严格。需要渐近命题的形式证明的读者，要另找更严格的资料。
- 只是第一卷。 书名带有罗马数字 I，副标题指明为渐近方法与摄动理论，超出这一范围的主题不在本卷中。
- 1978 年版的重印。 施普林格版只改了书名（伍德指出加了罗马数字和副标题），所以不含该领域及数值计算后来的发展。
在课程中的定位
这是工程数学书单中先进的专门书籍，假定读者已掌握其他书的内容。Erwin Kreyszig 的 Advanced Engineering Mathematics 是一部宽广的参考式教材，涵盖微分方程、线性代数、向量微积分、傅里叶与复分析和数值方法；Glyn James 的 Advanced Modern Engineering Mathematics 是英国的二年级教材。Anthony Croft 和 Robert Davison 的 Mathematics for Engineers 以及 K. A. Stroud 的 Engineering Mathematics 是从算术和代数起步的一年级与编序式教材。Riley、Hobson 和 Bence 的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 是一部大型单卷参考书，延伸到格林函数、变分法、张量、群论和特殊函数。
应在读完一整套工程数学课程、掌握常微分方程与复变函数之后再读 Bender 和 Orszag。想要更广的工具箱可用 Riley、Hobson 和 Bence；当问题含有小参数或大参数、需要近似的解析答案时，再转向 Bender 和 Orszag。
如何使用本书
出版社把本书定位为面向研究生和高年级本科生，并称它只假定读者对微分方程和复变函数略有了解。出版社所引用的评论者把它放在硕士或刚入门研究的水平，所以“略有了解”最好理解为最低要求：能熟练处理级数、常微分方程和复变函数，会使阅读容易得多。
实用的读法：
- 核心： 第 1 至 3 章作为基础，然后是讲积分的第 6 章，以及讲摄动与求和的第 7、8 章。
- 按需要选择： 第 9 至 11 章是针对边界层、WKB 和多尺度问题的全局方法。第 4、5 章可按需要学习非线性方程和差分方程。
- 做习题并做对照。 尝试不同难度的习题，并像书中那样，把每个近似与精确解或数值解对照检验。
- 把特殊函数附录当作参考， 在演算例子时随时查阅。