01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory. Springer. (Reprint of the 1978 McGraw-Hill edition.)
章の要約
本書は11章と付録から成り、約590ページである。出版社は、漸近法と摂動論を明快で実践的かつ自己完結的に提示し、厳密解が得られず、力任せの数値計算では有用な答えが得られない場合に、微分方程式と差分方程式の近似的な解析解を得る方法を示す本だと説明している。叙述は微分方程式と差分方程式の復習から始まり、局所的な漸近法を展開し、摂動論と総和法を説明し、大域的な方法である境界層理論、WKB理論、多重尺度解析で締めくくられる。出版社はさらに、議論は応用を重視し、厳密さよりも注意深さを重んじること、多くの例題、近似解と厳密解を比較する190のコンピュータ作成の図表、難易度のさまざまな600を超える問題、特殊関数の性質をまとめた付録があることを挙げている。シュプリンガー版は元のマグロウヒル版の復刻で、書名にローマ数字と副題が加えられただけである。
第1〜2章：常微分方程式、差分方程式
冒頭の二章は、以後の本書が近似する二種類の方程式を復習する。第1章は常微分方程式（3〜35ページ）、第2章は差分方程式（36〜57ページ）を扱う。両者は、後の近似を判定するための厳密な理論を与える。
第3〜5章：線形微分方程式の近似解、非線形微分方程式の近似解、差分方程式の近似解
この三章は局所解析の中核で、それぞれおよそ85、60、40ページある。線形微分方程式が最初で、次に非線形微分方程式、そして差分方程式が続く。これが出版社のいう「微分方程式と差分方程式の局所的な漸近法」である。
第6章：積分の漸近展開
第6章は約70ページで、方程式から積分に移り、その漸近展開を扱う。
第7〜8章：摂動級数、級数の総和
次の二章は摂動級数と級数の総和を扱う。出版社はこの部分を「摂動論と総和法」と呼んでいる。
第9〜11章：境界層理論、WKB理論、多重尺度解析
最後の三章は、それぞれ約65、60、33ページで、大域的な方法を展開する。境界層理論（第9章）、WKB理論（第10章）、多重尺度解析（第11章）である。これらは先行する局所的方法と摂動の技法を土台にしている。付録は特殊関数の性質をまとめ、巻末には参考文献と索引がある。
主要概念
第1〜2章：微分方程式と差分方程式
- 微分方程式と差分方程式：最初に復習され、全体を通じて近似される二種類の方程式。
第3〜6章：局所解析と積分
- 局所的な漸近解析：線形・非線形の微分方程式や差分方程式の解がある極限でどう振る舞うかを調べること。
- 積分の漸近展開：パラメータが大きくなるときの積分の近似。
- 近似と厳密な結果の比較：出版社が強調する、近似解と厳密解の比較。
第7〜8章：摂動と総和
- 摂動級数：小さなパラメータによる展開。
- 級数の総和：級数から有用な値を得る方法。
第9〜11章：大域的な方法
- 境界層理論：変化の急な領域をまたいで解を接続する。
- WKB理論：大きなまたは小さなパラメータを含む微分方程式の近似解。
- 多重尺度解析：複数の特徴的なスケールを持つ問題を扱う方法。
批判的分析
長所
- 近似の検証を軸にした方法の本。 出版社は、近似解と厳密解を比較する190のコンピュータ作成の図表を挙げている。読者は近似の導き方だけでなく、それぞれの近似がどれほど良いかも見ることができる。
- 意図された順序。 章の順序は出版社の概要に従う。復習、局所的方法、摂動と総和、そして大域的方法である。そのため大域的な章は先に導入した道具を再利用できる。
- 問題が多い。 出版社は難易度のさまざまな600を超える問題を数えており、巻末には特殊関数の付録もある。
- 専門の評者による推薦。 A. D. Wood は、1999年の復刻版を Mathematical Reviews で評し（出版社が引用）、修士課程や研究を始めたばかりの学生にとって漸近法と摂動法の優れた入門書であり、新鮮で生き生きとした文体で書かれ、厳密な結果と近似の結果を比較する図表は時代に先んじていたと述べた。
短所
- 原題に反して学部向けの教科書ではない。 Wood は、元の書名が科学者と技術者のための学部向けの教科書という印象を与えたが、実際はそうではないと指摘している。対象は修士課程と研究を始めたばかりの学生であり、ただし一部は応用数学や数理物理の最終学年の学部課程に使える。
- 厳密さより注意深さ。 出版社自身の説明によれば、議論は厳密さよりも注意深さを重んじる。漸近的な主張の形式的な証明が必要な読者は、より厳密な資料が必要になる。
- 第1巻のみ。 書名にはローマ数字のIが付き、副題は漸近法と摂動論を示しているので、その範囲を超える主題は本巻にはない。
- 1978年版の復刻。 シュプリンガー版は書名を変えただけで（Woodはローマ数字と副題の追加を指摘している）、その後の分野や数値計算の発展は含まれない。
コースにおける位置づけ
これは工学数学のリストの中で上級の専門書であり、他の本の内容を前提とする。Erwin Kreyszigの Advanced Engineering Mathematics は、微分方程式、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析と複素解析、数値計算を扱う幅広い参考書型の教科書で、Glyn Jamesの Advanced Modern Engineering Mathematics はイギリスの第二段階の教科書である。Anthony CroftとRobert Davisonの Mathematics for Engineers とK. A. Stroudの Engineering Mathematics は、算術と代数から積み上げる一年次向けとプログラム学習型の教科書である。Riley、Hobson、Benceの Mathematical Methods for Physics and Engineering は大型の一巻本の参考書で、グリーン関数、変分法、テンソル、群論、特殊関数にまで及ぶ。
一通りの工学数学の課程を終え、常微分方程式と複素変数に習熟してからBenderとOrszagを読む。より広い道具箱にはRiley、Hobson、Benceを使い、問題に小さなまたは大きなパラメータがあり、近似的な解析解が必要なときにBenderとOrszagに戻る。
本書の使い方
出版社は本書を大学院生と上級の学部生向けとし、微分方程式と複素変数についての限られた知識しか前提としないと述べている。出版社が引く評者は修士課程または研究を始めたばかりの水準に位置づけているので、「限られた知識」は最低限と読むのがよい。級数、常微分方程式、複素変数を自信をもって扱えれば、読むのがはるかに楽になる。
実際的な進め方：
- 中核： 基礎としての第1〜3章、次に積分の第6章、摂動と総和の第7章と第8章。
- 必要に応じて選ぶ： 第9〜11章は境界層、WKB、多重尺度の問題のための大域的方法である。第4章と第5章は、非線形方程式や差分方程式が必要になったときに読めばよい。
- 問題を解き、比較する。 さまざまな難易度の問題を試し、本書のように、各近似を厳密解や数値解と照らして確かめる。
- 付録を使う。 特殊関数の付録は、例題を解くときの参考として使う。