01 / 导读
导读
引用
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). John Wiley & Sons.
章节概要
全书共25章，分为A至G七个部分，其后有五个附录：参考文献、奇数题答案、辅助材料、补充证明和数表。每章末尾都有复习题与习题以及一页本章小结。各部分和各章的开篇都说明了该章需要的预备知识，以及在较短的课程中可以略去的小节；例如第1章把积分学列为预备知识，并标明1.6节和1.7节可以略去。
A部分：常微分方程（第1–6章）
A部分开宗明义，提出两个目标：求解常微分方程的主要方法，以及建模的实践，即把物理情境转化为数学模型。第1章“一阶常微分方程”从基本概念与建模讲起，经过方向场与欧拉方法、可分离方程与恰当方程、线性方程与伯努利方程、正交轨线（选学），直到解的存在唯一性。第2章“二阶线性常微分方程”讨论齐次与非齐次方程、朗斯基行列式和参数变易法，并配有自由振动、受迫振动、共振和电路的建模小节。第3章把这些结果推广到高阶。第4章“常微分方程组、相平面、定性方法”先用一节回顾矩阵与向量，再讨论相平面、临界点和稳定性。第5章“常微分方程的级数解、特殊函数”讲幂级数法与弗罗贝尼乌斯法，以及勒让德函数和贝塞尔函数。第6章“拉普拉斯变换”讲变换本身、平移定理、单位阶跃函数与狄拉克δ函数、卷积、常微分方程组，并附拉普拉斯变换表。
B部分：线性代数、向量微积分（第7–10章）
第7章“线性代数：矩阵、向量、行列式、线性方程组”涵盖矩阵运算、高斯消元、秩、行列式、逆矩阵，以及作为选学内容的向量空间与线性变换。第8章专门讨论矩阵特征值问题，包括对称、斜对称与正交矩阵、对角化和二次型。第9章和第10章转向向量微分学（梯度、散度、旋度；曲线、弧长、曲率与挠率）和向量积分学（线积分与面积分、格林定理、高斯散度定理和斯托克斯定理）。
C部分：傅里叶分析、偏微分方程（第11–12章）
第11章依次讲傅里叶级数、受迫振动、斯图姆–刘维尔问题与正交级数、傅里叶积分，以及余弦、正弦和傅里叶变换，其中包括离散傅里叶变换与快速傅里叶变换。第12章把这些工具用于波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程，内容有分离变量法、达朗贝尔解、矩形膜与圆形膜，以及用拉普拉斯变换解偏微分方程。
D部分：复分析（第13–18章）
六章依次为：复数与复变函数、复微分（柯西–黎曼方程、初等函数），复积分（柯西积分定理与积分公式），幂级数与泰勒级数（一致收敛为选学），洛朗级数与留数积分，共形映射（黎曼曲面为选学），以及复分析在静电场、热问题和流体流动中的位势理论应用。
E部分：数值分析（第19–21章）
该部分以一段软件说明开头。第19章“一般数值方法”涵盖方程求根的迭代、插值、样条，以及数值积分与数值微分。第20章讲数值线性代数：高斯消元、LU分解、迭代法、病态与范数、最小二乘法，以及特征值的计算方法。第21章讲常微分方程与偏微分方程的数值方法。A部分的开篇指出，21.1–21.3节（常微分方程的数值方法）可以在第1章或第2章之后直接阅读。
F部分：最优化、图（第22–23章）
第22章讲无约束最优化中的最速下降法、线性规划以及单纯形法及其困难。第23章讲图与有向图、最短路问题、迪杰斯特拉算法、最小生成树、网络流与福特–富尔克森算法，以及二部图与指派问题。
G部分：概率、统计（第24–25章）
第24章“数据分析、概率论”从数据的表示讲起，经过概率、随机变量，以及二项、泊松、超几何和正态分布，到多个随机变量的分布。第25章“数理统计”涵盖参数估计、置信区间、假设检验、质量控制与验收抽样、卡方拟合优度检验、非参数检验，以及回归与相关。
核心概念
A部分：常微分方程
- 数学建模：根据物理情境列出方程、求解并解释结果，也是A部分所点明的两个目标之一。
- 方向场与欧拉方法：不必求出解析解，就能用图形和数值方式追踪y' = f(x, y)的解。
- 相平面与临界点：常微分方程组的定性图像，并配有稳定性判别准则。
- 拉普拉斯变换：把常微分方程及方程组化为代数问题的变换，借助阶跃函数和狄拉克δ函数处理不连续的输入。
B部分和C部分：线性代数、向量微积分、傅里叶分析与偏微分方程
- 特征值问题：寻找只被矩阵拉伸的向量，是对角化和二次型的基础。
- 散度定理与斯托克斯定理：第10章的积分定理，把面积分与体积分或边界积分联系起来。
- 傅里叶级数、积分与变换：对周期函数与非周期函数的展开，用来求解第12章的偏微分方程。
- 分离变量法：求解波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程的标准途径。
D至G部分
- 留数积分：根据函数的奇点计算复积分与实积分。
- 共形映射：保角映射，用于位势问题。
- 数值线性代数：LU分解、迭代求解、范数与条件数，以及特征值方法。
- 单纯形法：线性规划的标准算法。
- 假设检验与回归：第25章的主要推断工具。
评析
优点
- 一册之内涵盖面广。 目录从常微分方程、线性代数一直到偏微分方程、复分析、数值方法、最优化与统计，因此一本书可以服务于多门工程数学课程。Wiley的介绍称第十版增加了更详细的例题和更多应用性习题。
- 便于选读。 各章开篇给出预备知识并列出可略去的小节，有些小节标明为选学或“供参考”（4.0节的矩阵与向量、7.6节的行列式、9.6节和10.3节的微积分复习），常微分方程的数值方法部分也可提前阅读。教师和自学者因此可以裁剪出自己的学习路径。
- 建模融入全书。 “建模：自由振动”“建模：受迫振动、共振”“建模：电路”“建模：膜、二维波动方程”等标题表明，书中把物理情境的建立当作数学的一部分来处理。
- 练习与自检。 第1章是Wiley公开的试读章节，其中有习题组、建模题、欧拉方法题和计算机代数系统项目，章末有复习题和小结。奇数题答案收在附录2。
局限
- 广而不深。 七个领域共用印刷版约1,260页：例如概率与统计只有两章，数值方法三章。需要完整学习某一门课程（如统计或数值分析）的读者，很可能还需要一本专门的教材。
- 章节之间存在依赖。 各部分并非完全独立：第12章用第11章的傅里叶级数求解偏微分方程，12.12节还用到第6章的拉普拉斯变换。跳着读的学生需要留意各章开篇所列的预备知识。
- 版本与形式不一。 第十版有多种形式：Wiley印度版标注1,148页，目录止于F部分；而Google图书和Wiley电子教材页面则分别给出1,264页和1,280页。如果需要概率与统计，应确认所用版本含G部分。
在课程中的定位
在本课程书单中，Kreyszig是内容宽广的二年级以上参考书。有两本书从起点开始为它做准备：Stroud的 Engineering Mathematics 是自定步调的程序式教材，从基础代数讲到拉普拉斯变换；Croft与Davison的 Mathematics for Engineers 是一年级教材，从算术和代数讲到微积分、矩阵、复数和微分方程。微积分尚不熟练的学生应先学其中一本。
与Kreyszig并列的是James等人的 Advanced Modern Engineering Mathematics。据出版社介绍，它以一本一年级配套教材为基础，十二章分别讲矩阵分析、常微分方程的数值解、向量微积分、一章复变函数、拉普拉斯变换与z变换、傅里叶方法、偏微分方程、最优化以及概率统计。Kreyszig用六章讲复分析，并把常微分方程的求解方法单独列为一个部分；James则多了z变换。在这两本之后，Riley、Hobson与Bence的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 延伸到格林函数、变分法、张量和群论；Bender与Orszag讲渐近方法与摄动理论的那一卷，则是求近似解析解的研究生教材。
如何使用本书
Wiley的介绍称，本书面向通过实际问题接触高等数学的工程师和计算机科学家。适合修完微积分课程、需要掌握数学建模标准方法的学生。第1章只要求积分学；之后各部分，尤其是向量、傅里叶和复分析各章，要用到前面的内容。
较实用的做法是把它当作配合具体课程的参考书，而不是从头读到尾：
- 多数工程课程的核心： 第1–2章和第6章（常微分方程与拉普拉斯变换）、第7–8章（矩阵与特征值）、第9–10章（向量微积分）、第11–12章（傅里叶方法与偏微分方程）。
- 按需选读： 高阶方程、方程组与特殊函数读第3–5章；复分析课程或位势理论应用读第13–18章；数值方法读第19–21章，其中21.1–21.3节可在第1章或第2章之后直接使用；最优化与统计读第22–23章和第24–25章。
- 初读可跳过： 标明选学的小节，如1.6、2.3、7.9、8.5、15.5和17.5。
先做例题；计算机代数系统只用来核对手算结果（开篇第1章本身就这样建议）；复习时利用章末小结和复习题。