01 / 导读
导读
引用
Boas, M. L. (2005). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd ed.). Wiley.
章节概要
全书共15章、864页，之后是参考文献、部分习题答案和索引。出版社把本书的目的描述为：帮助学生在短时间内，对高等物理、化学和工程课程所需的众多数学领域各自形成基本的能力，既有足以打下扎实基础的深度，又不含更适合数学专业学生的详细证明。各章以“杂题”（Miscellaneous Problems）习题组结尾。
第1章：无穷级数、幂级数
从几何级数开始，经过正项级数的收敛判别法、交错级数与条件收敛级数、幂级数及其收敛区间，到获得展开式的技巧。此外还讲级数近似的精度、级数的一些用途，以及关于使用计算机的简短一节。
第2章：复数
实部与虚部、复平面、复代数、复无穷级数、欧拉公式、幂与根、指数函数、三角函数和双曲函数、对数与反函数，并有一节讲应用。
第3章：线性代数
最长的一章（106页）。从矩阵、行化简与行列式，经过向量、直线与平面、矩阵运算与线性算子、线性相关、特殊矩阵与线性向量空间，到特征值、特征向量与对角化及其应用。以对群的简短介绍和一节一般向量空间结束。据出版社介绍，矩阵对角化在第三版中从第10章移到了这里，对线性向量空间的讲解也更详细。
第4–6章：偏微分；多重积分；向量分析
多元微积分：全微分、链式法则、包括拉格朗日乘数法在内的极值问题、变量替换与莱布尼茨法则；带雅可比行列式的二重和三重积分与曲面积分；以及向量分析，从三重积与梯度到线积分、格林定理、散度定理和斯托克斯定理。
第7章：傅里叶级数与变换
周期函数、傅里叶系数、狄利克雷条件、复数形式、偶函数与奇函数、对声音的应用、帕塞瓦尔定理和傅里叶变换。据出版社介绍，傅里叶积分在第三版中被移到了这里。
第8章：常微分方程
可分离变量方程与一阶线性方程、常系数二阶线性方程、拉普拉斯变换及其在解方程中的应用、卷积、狄拉克δ函数，以及对格林函数的简要介绍。拉普拉斯变换和扩充后的δ函数的讲解是本版的新安排。
第9–10章：变分法；张量分析
欧拉方程、最速降线、拉格朗日方程和等周问题；然后是笛卡儿张量、惯性张量、克罗内克δ与列维–奇维塔符号、赝向量、曲线坐标和非笛卡儿张量。出版社说，本版扩充了张量的讲解。
第11–12章：特殊函数；微分方程的级数解：勒让德、贝塞尔、埃尔米特和拉盖尔函数
Γ函数与Β函数、误差函数、渐近级数、斯特林公式和椭圆积分；然后是勒让德方程与多项式、弗罗贝尼乌斯方法、贝塞尔函数，以及带升降算符的埃尔米特函数和拉盖尔函数。
第13–15章：偏微分方程；复变函数；概率与统计
直角、柱和球坐标情形下的拉普拉斯方程、扩散方程、波动方程和泊松方程；解析函数、围道积分、洛朗级数、留数定理和保角映射；以及概率、随机变量、二项分布、正态分布与泊松分布，还有用于实验测量的统计。
核心概念
第1–3章：级数、复数、线性代数
- 级数的收敛：判断无穷级数能否使用的各种检验法。
- 欧拉公式：联系复指数与三角函数的关系。
- 对角化：求特征值和特征向量以简化矩阵问题。
第4–8章：微积分、向量、傅里叶、微分方程
- 拉格朗日乘数法：在约束条件下求某个量的最大或最小值。
- 散度定理与斯托克斯定理：向量分析中的积分关系。
- 傅里叶级数与变换：周期函数的展开及其向变换的推广。
- 拉普拉斯变换与格林函数：求解微分方程的工具。
第9–15章：变分、张量、特殊函数、偏微分方程、复变函数、概率
- 欧拉方程：积分取驻值的条件。
- 笛卡儿张量：如惯性张量这样按确定方式变换的量。
- 勒让德函数与贝塞尔函数：分离变量后偏微分方程中出现的方程的解。
- 留数定理：借助复围道求定积分。
评析
优点
- 一册之内涵盖面广。 目录从级数和线性代数一直到偏微分方程、复分析和概率。各章末的杂题部分提供跨主题的练习。
- 有意地以方法为先。 出版社说明本书强调方法胜过应用，追求深度而不用繁重的证明，并且“不是一本菜谱”。“级数的应用”“对角化的应用”“保角映射的一些应用”等节名显示了应用被安排在哪里。
- 有理由的修订。 第三版调整了内容的安排：对角化移入线性代数一章，基函数的讲解贯穿傅里叶、微分方程、级数解和偏微分方程各章，拉普拉斯变换和δ函数则放在微分方程一章。书中全程指出了计算机代数系统的用处与陷阱。
- 对后续课程有用。 关于惯性张量、拉格朗日方程、升降算符和薛定谔方程的各节，把数学与力学和量子力学联系了起来。
局限
- 证明较少。 按出版社自己的描述，详细证明被略去，所以想要对收敛、变换或分布作严格论证的读者需要数学教材。
- 广度限制了深度。 有几个主题讲得较简短，例如群只有一个七页的小节，拉普拉斯变换只有三个短节。研究生课程需要更全面的参考书。
- 计算内容很少。 没有专讲数值方法的章节；计算机只出现在一些评注中，以及第1章里简短的“使用计算机”一节。
- 书外的主题。 非线性动力学与混沌没有出现在目录中。
在课程中的定位
Boas 是供本科物理课程中段学生使用的、一册之内内容广泛的数学方法教材。Albano 在 Physics Today 上的书评（2001年）认为 Hassani 的 Mathematical Methods 第一版在目标读者、节奏和覆盖领域上与当时已是第二版的 Boas 最为接近。Hassani 把复数推迟到第18章，并设有张量、积分变换、混沌和概率各章，而 Boas 把复数放在第2章。
在 Boas 之前，Riley 与 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 从中学数学起步建立微积分、向量和矩阵，Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 是进入向量微积分的轻松路径，对第6章有帮助。在 Boas 之后，Arfken、Weber 与 Harris 的 Mathematical Methods for Physicists 是研究生层次的参考书，Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 则涉及 Boas 没有讲的主题。
如何使用本书
出版社面向的是学过两学期或三学期入门微积分课程的学生。此后本书自己建立其他工具，线性代数和微分方程都从引言开始讲起。
从第1章和第2章开始：级数和复数在后面的章节中反复出现，例如傅里叶级数的复数形式和复变函数一章。第3–6章提供物理课程中使用的线性代数和多元微积分，可作为第一学期的合理内容。第7、8、12、13章（傅里叶方法、微分方程、特殊函数和偏微分方程）是电磁学和量子力学课程的核心。第9、10、11、14、15章可以随力学、相对论、量子力学或实验课的需要选读。边读边做习题；部分习题的答案在书末，书中关于计算机代数陷阱的评注可以当作提示，提醒用手算来核对机器的输出。