01 / 导读
导读
引用
Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2012). Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide (7th ed.). Academic Press.
章节概要
第七版共23章，约1,200页，前面的前言包含“To the Student”“What's New”和“Pathways through the Material”几个部分。每章以延伸阅读（Additional Readings）清单结尾。出版社称，这一版保留了第六版的主要特点，在讲解、理论和例子之间取得更仔细的平衡，改进了模块化的章节，更新了记号，并采用以解题为中心的方法。内容从级数和矢量，经过线性代数和微分方程，到复变函数、特殊函数、群论、积分变换、积分方程、变分法和概率。
第1–2章：Mathematical Preliminaries；Determinants and Matrices
第1章汇集预备知识：无穷级数与函数项级数、二项式定理、数学归纳法、矢量、复数、导数与极值、积分的计算以及狄拉克δ函数。第2章讲行列式和矩阵。
第3–4章：Vector Analysis；Tensors and Differential Forms
矢量的性质、坐标变换与转动、微分矢量算子、积分定理、势论和曲线坐标。第4章转入张量分析、赝张量与对偶张量、一般坐标下的张量、雅可比行列式，以及微分形式及其微分与积分。
第5–6章：Vector Spaces；Eigenvalue Problems
函数空间、格拉姆–施密特正交化，以及算符（自伴、酉）及其变换与不变量。第6章讲本征值方程、厄米问题与矩阵对角化，以及正规矩阵。
第7–9章：Ordinary Differential Equations；Sturm-Liouville Theory；Partial Differential Equations
一阶方程、常系数方程、二阶线性方程、弗罗贝尼乌斯级数解、非齐次方程与非线性方程。随后的斯图姆–刘维尔理论讲厄米算符、本征值问题和变分法。偏微分方程一章处理一阶和二阶方程、分离变量，以及拉普拉斯、泊松、波动和热传导方程。
第10章：Green's Functions
一维问题以及二维、三维问题的格林函数。
第11–13章：Complex Variable Theory；Further Topics in Analysis；Gamma Function
复变函数论从柯西–黎曼条件讲到柯西积分定理和公式、洛朗展开、奇点和留数演算，并用于计算定积分与求和。第12章汇集正交多项式、伯努利数、欧拉–麦克劳林公式、渐近级数、最速下降法和色散关系。第13章讲伽马函数、双伽马函数、贝塔函数、黎曼ζ函数和斯特林级数。
第14–16章：Bessel Functions；Legendre Functions；Angular Momentum
各类贝塞尔函数与球贝塞尔函数；勒让德多项式、连带勒让德函数与球谐函数；以及角动量算符、耦合、球张量和矢量球谐函数。
第17–18章：Group Theory；More Special Functions
群的表示与物理中的对称性、离散群与连续群、洛伦兹群与麦克斯韦方程的洛伦兹协变性，以及空间群。第18章补充厄米、拉盖尔和切比雪夫函数、超几何函数、二重对数和椭圆积分。
第19–23章：Fourier Series；Integral Transforms；Integral Equations；Calculus of Variations；Probability and Statistics
傅里叶级数与吉布斯现象；含卷积定理、信号处理应用和离散傅里叶变换的傅里叶变换与拉普拉斯变换；含诺伊曼级数和希尔伯特–施密特理论的积分方程；欧拉方程与有约束的变分问题；以及概率、二项分布、泊松分布和正态分布，还有统计。
核心概念
- 级数、矢量与复数：预备工具箱（第1章）。
- 张量与微分形式：矢量分析中与坐标无关的语言（第4章）。
- 自伴算符与本征值问题：许多物理问题背后的线性代数结构（第5–6、8章）。
- 弗罗贝尼乌斯级数与斯图姆–刘维尔理论：求解线性微分方程并与正交函数联系起来（第7–8章）。
- 格林函数：求解非齐次问题（第10章）。
- 留数演算：用复变方法计算积分与求和（第11章）。
- 特殊函数：伽马、贝塞尔、勒让德、厄米、拉盖尔等（第13–15、18章）。
- 群论与洛伦兹群：对称性（第17章）。
- 积分变换：傅里叶变换与拉普拉斯变换（第20章）。
评析
优点
- 一册涵盖极广。 章节涵盖了研究生层次物理所用数学的几乎全部，也包括较短的教材省略的话题，如微分形式、含洛伦兹群的群论、积分方程和色散关系。MAA.org的书评称其为一本对物理有用的数学的详尽手册。
- 以解题为导向。 出版社称，本书侧重解题技能和主动学习，配有大量章末习题，并清楚标出定义、定理和证明。Zentralblatt MATH上的一篇评论强调了其中大量的习题和练习。
- 模块化的章节和指引。 第七版宣传改进了的模块化章节，以及前言中的“Pathways through the Material”一节，帮助读者选择要用的章节。
- 持久的参考价值。 每章末尾有延伸阅读，小节多而具体，读者可以回头查找某个具体结果。
局限
- 篇幅与密度。 约1,200页、23章，远超单门课程所能使用的量；它最适合作为参考书，从中挑选章节。
- 不是第一门课程。 第1章是对级数、矢量、复数和积分的简要复习，站内列出的先修要求是一门中级数学方法课程；没有这一背景的学生会觉得节奏很快。
- 数值方法很少。 内容专注于解析方法，没有数值分析或计算的章节，这方面需要另找资料。
在课程中的定位
在数学方法课程中，Arfken、Weber与Harris是综合性的研究生教材和参考书。Riley与Hobson的Foundation Mathematics for the Physical Sciences是一年级数学书，从中学水平出发建立微积分、矢量、矩阵和微分方程工具；Schey的Div, Grad, Curl, and All That是以静电学为主线的简短、非正式的矢量微积分读物。两者都应远早于Arfken阅读。Boas的Mathematical Methods in the Physical Sciences和Hassani的Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields是本科层次的方法书，Boas的写法让学生可以在接触完整理论之前就使用方法，Hassani则用物理问题来引出每种技巧。Strogatz的Nonlinear Dynamics and Chaos属于另一个主题，是非线性系统和混沌的入门。
通常的路线是先读Boas或Hassani，再用Arfken、Weber与Harris深入学习课程所需的话题，或用于研究生阶段的学习。
如何使用本书
本书适合已学完微积分、线性代数、微分方程和一门中级数学方法课程的物理专业研究生和高年级本科生，也可作为研究人员的参考书。
先读前言中的pathways一节来选择路线。典型的研究生顺序是：第1–3章（预备知识、矩阵、矢量分析），第5–8章（矢量空间、本征值问题、微分方程和斯图姆–刘维尔理论），第11章（复变函数），然后是特殊函数（第13–15章）和傅里叶变换（第19–20章）。群论（17）、格林函数（10）、积分方程（21）、变分法（22）和概率（23）可按课程需要加入。完成章末习题，并通过延伸阅读查找更深入的论述。