Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields（物理及相关专业数学方法）

引用

Hassani, S. (2009). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer.

章节概要

第二版约830页，共32章。据出版社介绍，它被重新编排为“更便于使用的较短章节”（大多数章节约10到40页），相比第一版，新增了一部分全新的概率论内容，并增加了张量和积分变换方面的新材料。出版社的概述说明了顺序：从向量代数和微积分的复习开始，接着是无穷级数、向量分析、复代数与复分析，以及常微分方程和偏微分方程，数值分析、非线性动力学与混沌、狄拉克δ函数则作为通向现代专题的入门。

第1–5章：坐标系与向量；微分；积分：形式；积分：应用；狄拉克δ函数

开头这一组（第3–170页）是出版社提到的对坐标、向量、微分和积分的复习，积分分为一个形式化的章节和一个应用章节。它以狄拉克δ函数一章收尾；第一版的书评者特别称赞了对δ函数的处理，包括其二维和三维的形式。

第6–8章：平面与空间向量；有限维向量空间；相对论中的向量

向量代数一组：平面和空间中的向量，然后是有限维向量空间，再是相对论中使用的向量。第一版的书评指出，作者有意把有限维向量空间与正交多项式之类的函数空间思想统一起来，因此后面出现傅里叶级数和特殊函数时，带有正交基的函数空间这一概念已不陌生。

第9–11章：无穷级数；常用级数的应用；作为函数的积分与级数

无穷级数的收敛、常用级数的应用，以及用积分和级数表示函数。

第12–17章：向量与导数；通量与散度；线积分与旋度；应用向量分析；曲线坐标中的向量分析；张量分析

向量微积分，随后是曲线坐标和张量。第一版的书评称赞了书中用麦克斯韦方程组为向量微积分的讲解收尾。张量分析（第439–474页）是出版社列出的第二版有所扩充的内容之一。

第18–21章：复数运算；复导数与复积分；复级数；留数计算

从运算到微分与积分、级数和留数的复分析。它始于第477页，已处在全书相当靠后的位置。

第22–28章：从偏微分方程到常微分方程；一阶微分方程；二阶线性微分方程；拉普拉斯方程：直角坐标；拉普拉斯方程：球坐标；拉普拉斯方程：柱坐标；数学物理中的其他偏微分方程

微分方程。章名显示了顺序：把偏微分方程化为常微分方程，一阶和二阶常微分方程，三种坐标系下的拉普拉斯方程，然后是数学物理中的其他方程。

第29–32章：积分变换；变分法；非线性动力学与混沌；概率论

最后四章各是一个独立的专题：积分变换、变分法、非线性动力学与混沌入门，以及概率论，后者是本版新增的部分。其后是参考文献。

核心概念

第1–8章：坐标、微积分、δ函数、向量

• 狄拉克δ函数：一种能取出函数在某一点的值的广义函数，单独成章讨论。
• 有限维向量空间：线性代数以及后面函数空间思想的舞台。
• 相对论中的向量：用向量表示时空量。

第9–21章：级数、向量分析、张量、复分析

• 无穷级数：含无穷多项的和，讨论其收敛与应用。
• 通量、散度、线积分与旋度：向量分析的核心量。
• 张量分析：带有多个指标的量，在本版中有所扩充。
• 留数计算：用复分析求积分的方法。

第22–32章：微分方程与更多专题

• 不同坐标系中的拉普拉斯方程：直角、球和柱坐标各有单独的章节。
• 积分变换与变分法：在第29–30章展开的方法。
• 非线性动力学与混沌：通向现代专题的收尾入门。
• 概率论：第二版的新增部分。

评析

优点

• 与物理相联系的例子。 出版社介绍了“许多来自物理科学的原创、清晰且切题的例子”、章末习题和强调重要概念的方框。Albano 在 Physics Today（2001年6月）评论第一版时指出，每章以一段说明背景的开场白开始，用物理例子引出定义，书中还有许多关于人物与思想的注释。
• 比第一版覆盖更广。 第一版的书评把概率、张量和积分变换列为缺少的内容；出版社说第二版增加了概率以及张量和积分变换方面的新材料，目录中现已包含张量、积分变换、变分法和概率论各章。
• 现代专题。 出版社把δ函数、非线性动力学与混沌以及数值分析列为通向现代数学物理的入门。
• 较短的章节。 重新编排为约10到40页的章节，更便于指定具体专题。

局限

• 开头的复习章节。 Albano 批评第一版开头的章节是学生本应已经掌握的复习内容，并说作者对一些误解的澄清有时反而造成更多困惑。据出版社介绍，第二版仍以复习开头，但这些具体段落是否经过修订并未说明。
• 第一版书评中的文风问题。 同一位书评者还认为脚注和缩略语太多，并有一些没有根据的概括；这些意见针对第一版，凭现有资料无法用第二版核实。
• 复分析出现较晚。 复数运算直到第18章，即全书大约中点才出现，所以需要早用复数的课程必须调整章节顺序。出版社引用的、针对前一版的 Zentralblatt MATH 书评也提到了同样的迟到。
• 计算机与数值计算。 Albano 惋惜第一版没有讨论用计算机做符号或数值计算。出版社的概述提到第二版有数值分析，但32个章名中没有一个以它命名，所以即使有相关内容，也包含在其他章节之内。

在课程中的定位

Hassani 是一本中等程度的本科数学方法教材，与它最直接竞争的是 Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences。Albano 的书评认为第一版在目标读者、节奏和覆盖领域上与 Boas 最为接近。二者的差别在于顺序。Boas 的既定目标是在短时间内培养各领域的基本能力，它把复数放在第2章、线性代数放在第3章；而 Hassani 把复数推迟到第18章，把向量空间放在第6–7章。两本书都含有张量、变分法和概率，Boas 还为傅里叶级数与变换和特殊函数各设了单独的章节。

作为预备，Riley 与 Hobson 的 Foundation Mathematics for the Physical Sciences 从中学数学讲起，Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 是进入向量微积分的轻松路径，对第12–17章有帮助。想比 Hassani 走得更深，Arfken、Weber 与 Harris 的 Mathematical Methods for Physicists 是研究生层次的参考书，而 Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 则以完整篇幅展开第31章的主题。

如何使用本书

本书是为已修完入门物理课程的物理、工程及相关专业的二、三年级学生而写的。微积分被视为已学，但第1–5章会重新讲到它。

对于一学期的数学方法课，较可行的选择是第9–11章（级数）、第12–16章（向量分析）、第18–21章（复分析）和第22–28章（微分方程），第1–5章只在需要时查阅。第6–7章（向量空间）值得早读：据第一版的书评，作者由此建立起带有正交基的函数空间的思想。张量（第17章）、积分变换、变分法、混沌和概率适合作为第二学期或自学的材料。请利用章末习题；如果需要较早用到复数，就先读第18章。