Foundation Mathematics for the Physical Sciences（物理科学基础数学）

引用

Riley, K. F., & Hobson, M. P. (2011). Foundation Mathematics for the Physical Sciences. Cambridge University Press.

章节概要

全书共十五章和六个简短的附录。每章末尾有本章主要结果的小结，以及附有提示和答案的习题；每一节末尾还有几道简短的练习。前言把本书说成作者篇幅更大的 Mathematical Methods for Physics and Engineering 的另一种版本：保留其中偏重打基础的前半部分，略去真正属于“方法”的专题。

第1–2章：算术与几何；初等代数

开头两章复习许多读者在中学已经接触过的内容：幂、指数与对数函数、物理量纲、二项式展开、三角恒等式和不等式，随后是多项式方程、解析几何、部分分式以及若干证明方法。前言说明，加入这些入门内容是为了贴合读者的实际起点。

第3–4章：微分学；积分学

第3章讲微分、莱布尼茨定理、函数的特殊点与曲率、微分学中的定理和图像绘制。第4章涉及积分方法、分部积分、递推（约化）公式、广义积分、平面极坐标中的积分、积分不等式以及积分的应用。

第5–6章：复数与双曲函数；级数与极限

第5章说明引入复数的必要性，讲复数的运算与极坐标形式、棣莫弗定理、复对数与复幂，并以双曲函数收尾。第6章处理级数：求和、收敛判别、级数运算、幂级数、泰勒级数和极限的计算。

第7–8章：偏微分；重积分

第7章转向多变量函数：全微分、恰当与非恰当微分、链式法则、变量替换、带约束与不带约束的驻值、包络、热力学关系以及含参积分的微分。第8章介绍二重积分、其应用以及重积分中的变量替换。

第9–10章：向量代数；矩阵与向量空间

第9章涵盖数量积与向量积、三重积、直线、平面与球面、距离问题以及倒易向量。第10章是全书最长的一章，从向量空间和线性算子出发，经行列式、逆矩阵、秩和线性方程组，讲到特征值、对角化、二次型与厄米型以及求和约定。

第11–12章：向量微积分；线积分、面积分与体积分

第11章讲向量的微分、标量场与矢量场、向量算子、柱坐标与球坐标，以及一般曲线坐标。第12章转向线积分、面积分和体积分、平面上的格林定理、保守场与势，以及散度定理和斯托克斯定理。

第13–15章：拉普拉斯变换；常微分方程；初等概率

第13章引入拉普拉斯变换、狄拉克δ函数和赫维赛德阶跃函数。第14章处理一阶与高阶线性常微分方程以及线性递推关系。第15章对概率作初等处理，从维恩图、排列组合一直到常见的离散与连续分布和联合分布。

附录A–F

附录收录较为形式化的推导（自然对数的底、正弦函数的定义、莱布尼茨定理、求和约定）、物理常数表，以及下文提到的脚注问题的答案。

核心概念

第1–6章：代数、微积分、复数与级数

• 物理量纲：第1章中专门讨论物理量量纲的一节。
• 积分方法：第4章讲的换元、分部积分与递推公式。
• 复数：第5章的极坐标表示与棣莫弗定理。
• 泰勒级数与极限：第6章的幂级数内容。

第7–12章：多变量、矩阵与向量微积分

• 恰当与非恰当微分：第7章的基本语言，该章还含有一节热力学关系。
• 特征向量与特征值：第10章，以及由此引出的对角化。
• 向量算子：第11章定义的梯度、散度和旋度。
• 散度定理与斯托克斯定理：第12章末尾的积分定理。

第13–15章：变换、微分方程与概率

• 拉普拉斯变换：把微分方程化为代数问题的方法。
• 常系数线性常微分方程：第14章的核心。
• 随机变量与分布：第15章的基本框架。

评析

优点

• 以讲解为主的写法。 前言说，作者让文字更偏向解释：每个主题先做定性的、尽量以物理为依托的引入，再作形式化的论述，最后给出一两个完整的例题。
• 会提问的脚注。 三百多条脚注中约有一半向读者提出问题或下达指令，参考答案在附录F。作者把它当作小组辅导中即时提问的替代。
• 分层练习。 每节后有简短练习（共三百多道），每章末有小结，较有难度的习题（四百五十多道）放在章末。书中印有奇数题的简要答案，另有《学生解答手册》给出同一批题目的完整解答。
• 门槛友好。 前两章回顾幂、对数、量纲和三角，中学基础薄弱的读者也有可以起步的地方。

局限

• 有意不求完整。 前言说明本书略去了真正属于“方法”的专题。目录中没有傅里叶级数、偏微分方程和特殊函数的章节，因此物理专业课程还需要第二本数学书。
• 作为“入门”偏长。 索引从第706页开始，全书的结构也意味着一门课程不会讲完十五章。
• 小结只是提示。 前言指出章末小结无法写出每个结果所附带的全部条件，应在读完正文之后，把它当作清单和公式来源来用。

在课程中的定位

本书是数学方法书单的起点。Boas 的 Mathematical Methods in the Physical Sciences 在本站的介绍中，是让学生在接触完整理论之前先学会使用方法的教材，涵盖级数、复数、线性代数、多元与向量微积分、傅里叶方法、微分方程、特殊函数和张量。Riley 与 Hobson 停在更靠前的位置，把更多篇幅花在中学层面的基础和讲解上，因此通常的顺序是先读本书，再读 Boas，或读 Hassani 的 Mathematical Methods（用物理问题来引出每种技巧）。

Schey 的 Div, Grad, Curl, and All That 以电静力学为主线，用简短而不拘形式的方式独立讲了第11–12章的内容，可与这两章并读。Arfken、Weber 与 Harris 是供本科课程之后使用的参考书和研究生教材；Strogatz 的 Nonlinear Dynamics and Chaos 是专门学科的教材，而不是通用的工具箱。

如何使用本书

本书适合希望数学被详细讲解的低年级理工科本科生，也适合在进入方法课之前需要温习中学数学的自学者。前言把它定位为通向大学数学的温和入门，起点要与读者的实际水平相匹配。

实用的安排：

• 核心： 第1–4章和第6–7章用于巩固微积分，第9–12章用于向量、矩阵和向量微积分，第14章用于常微分方程。中学基础扎实的读者可以略读第1–2章。
• 按需阅读： 涉及波或振动之前读第5章；进入多变量物理之前读第8章；课程用到拉普拉斯变换时读第13章；学统计或统计物理之前读第15章。
• 学习方法： 遇到脚注问题就先作答；每节读完马上做节末练习；章末习题留作复习。奇数题答案可对照书中，完整解法见《学生解答手册》。
• 附录： 正文提到时再读，或像前言所允许的那样，等主体章节熟悉后再补读。