01 / 导读
导读
引用
Dobrow, R. P. (2016). Introduction to Stochastic Processes with R. Wiley.
章节概要
全书约 500 页：九章正文，之后是四个附录（R 入门教程、概率复习、常用分布汇总和矩阵代数复习）以及部分奇数号习题的答案。据出版社统计，书中有 200 多个例题和 600 多道章末习题，配套网站提供书中用到的数据文件和全部 R 代码与脚本。带星号的节为选读内容，最后一章整章也是选读。
第1章：引言与复习
本章以细菌种群的指数增长及与之对应的随机出生模型为例，对比确定性模型与随机模型，并通过 PageRank、Reed–Frost 流行病模型、大富翁棋盘游戏、随机游走与赌徒破产问题、布朗运动等例子来定义随机过程。在介绍蒙特卡罗模拟之后，本章用较长篇幅复习条件概率和条件期望，包括随机个随机变量之和——这些是全书其余部分依赖的工具。
第2章：马尔可夫链：初步
初次讨论离散时间马尔可夫链：定义、一大批例子（“聚宝盆”）、用转移矩阵进行的基本计算、关于长期行为的数值证据以及模拟。一节选读内容复习数学归纳法。
第3章：马尔可夫链的长期行为
全书最长的一章，内容包括极限分布与平稳分布、状态之间的可达性、不可约性、周期性、遍历链、时间可逆性和吸收链。选读各节讨论再生与强马尔可夫性，并给出极限定理的证明。
第4章：分支过程
讨论每个个体产生随机数目后代的种群模型：代际平均规模、概率母函数以及灭绝概率。
第5章：马尔可夫链蒙特卡罗
把马尔可夫链当作模拟工具。本章介绍 Metropolis–Hastings 算法和吉布斯抽样，选读各节讨论完美抽样、收敛速度与特征值的联系，以及用全变差距离衡量的洗牌问题。
第6章：泊松过程
讨论到达时刻与到达间隔、无穷小概率、稀释与叠加、到达时刻的均匀分布、空间泊松过程和非齐次泊松过程，最后以题为“Parting Paradox”的一节收尾。
第7章：连续时间马尔可夫链
通过“闹钟”和转移速率引入在连续时间中运动的链，随后讨论无穷小生成元、长期行为、时间可逆性、排队论和泊松从属。
第8章：布朗运动
把布朗运动作为随机游走的极限、作为高斯过程，并通过其变换与性质来讨论，之后是变体与应用，以及鞅的入门。
第9章：随机微积分浅介*
选读的最后一章，讨论伊藤积分和随机微分方程。出版社把 Black–Scholes 期权定价列为本书话题之一。
核心概念
第1–3章：基础与离散时间马尔可夫链
- 条件期望：给定另一个随机变量时某个随机变量的期望，其本身也被当作随机变量。
- 蒙特卡罗模拟：通过多次模拟随机过程来估计概率和期望。
- 转移矩阵：由一步转移概率组成的矩阵，其幂给出多步行为。
- 平稳分布与极限分布：链的长期行为，对遍历链有保证。
- 吸收链：最终停留在无法离开的状态的链，用于赌徒破产等问题。
第4–5章：分支过程与 MCMC
- 概率母函数：计算分支过程灭绝概率的工具。
- Metropolis–Hastings 与吉布斯抽样：构造以目标分布为平稳分布的马尔可夫链的算法。
- 全变差距离：衡量链与平稳状态接近程度的指标，应用于洗牌问题。
第6–7章：连续时间
- 泊松过程：到达间隔相互独立且服从指数分布的随机到达。
- 稀释与叠加：对泊松过程进行拆分与合并。
- 无穷小生成元：描述连续时间链的转移速率矩阵。
- 排队模型：描述顾客到达和接受服务的连续时间链。
第8–9章：布朗运动与随机微积分
- 布朗运动：作为随机游走极限得到的连续时间、连续状态过程，同时也是高斯过程。
- 鞅：在给定现在的条件下，未来的期望值等于当前值的过程。
- 伊藤积分与随机微分方程：关于布朗运动的积分，以及由它构建的方程。
评析
优点
- 模拟是内在组成部分。 R 不是附加内容，而是讲解的一部分：第1章引入蒙特卡罗模拟，第2章有一节讲马尔可夫链的模拟，标有“R”的习题引导读者使用 Reed–Frost 模型等脚本文件，配套网站提供书中用到的全部代码。附录A 帮助读者上手 R。
- 例子来自多个领域。 仅第1章就涉及网页搜索、传染病、棋盘游戏、空气监测和赌博，出版社还列出了图上的随机游走、洗牌、遗传学、密码学和期权定价等话题。例子简短而具体。
- 作为入门书覆盖面很广。 除了标准的马尔可夫链和泊松过程，本书还包括分支过程、整整一章的马尔可夫链蒙特卡罗、排队论、布朗运动、鞅以及伊藤微积分的初步，课程可以自行选择侧重点。
- 便于自学。 概率和矩阵代数的复习附录、第1章对条件概率和条件期望的长篇复习，以及部分奇数号习题的答案，使本书在课堂之外也能使用。
局限
- 重广度轻深度。 选读的随机微积分“浅介”只用约 30 页讲伊藤积分和随机微分方程；对金融或随机微分方程感兴趣的读者需要本课程中的专门教材。目录中没有把更新理论列为话题。
- 部分证明为选读。 马尔可夫链极限定理的证明放在第3章末带星号的一节中，因此跳过星号内容的课程，所证明的结论少于所陈述的结论。
- 以概率论课程为前提。 第1章和附录B 虽然复习了概率，但节奏很快；本书不是概率论的第一门课程教材。
- 绑定单一语言。 软件支持只有 R；使用 Python 或其他语言的读者需要自行改写脚本。
在课程中的定位
本书是随机过程课程最自然的第一本教材，尤其适合善于通过模拟来学习的学生。Sheldon Ross 的 Introduction to Probability Models 覆盖相近的内容（马尔可夫链、泊松过程、连续时间链），更侧重排队、可靠性和更新现象等应用，并附有大量例题；它既可以与 Dobrow 配合使用以获得更多习题，也可以作为替代的主教材。Sidney Resnick 的 Adventures in Stochastic Processes 对马尔可夫链、更新过程与点过程、布朗运动和随机游走的处理更为严格，适合在读完第3、6、8章之后作为下一步。
就金融和随机微积分而言，Dobrow 的第9章只是预告。Steven Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance I 在离散时间二项模型中展开鞅、测度变换和期权定价，与本书第3章和第8章搭配良好。之后，Bernt Øksendal 的 Stochastic Differential Equations、Lamberton 和 Lapeyre 的 Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance 以及 Tomas Björk 的 Arbitrage Theory in Continuous Time 会全面讲授伊藤微积分和连续时间金融。
如何使用本书
本书适合修过一门基于微积分的概率课和一些线性代数的数学、统计、理科和工科本科生；出版社也提到研究生一年级学生，以及希望复习这一主题的应用数学和统计工作者。初次接触 R 的读者可从附录A 入手。
一学期课程的阅读计划：
- 核心： 第1章（概率基础扎实的话可快速浏览复习部分，但要做条件期望的例题）、第2章和第3章、第6章和第7章。
- 任选一到两章： 种群模型选第4章，模拟与贝叶斯计算选第5章，布朗运动和鞅选第8章。
- 选读： 带星号的各节（包括第3章极限定理的证明），以及为准备学习金融的学生准备的第9章。
边读边运行配套网站上的 R 脚本：先模拟一条链，再把模拟结果与书中算出的精确平稳分布或吸收概率进行比较。在做解析习题的同时也做标有“R”的习题，奇数号习题可以对照书后的答案。