金融工程中的蒙特卡洛方法

引用

Glasserman, P. (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer.

章节概要

全书共九章和三个附录，约600页，配有99幅图。前言把全书分为三部分：第1–3章讲模拟的基础和要模拟的模型，第4–6章讲如何把模拟做得更好，第7–9章讲金融中特有的专题。

第1章：Foundations

本章分为两半。前半“Principles of Monte Carlo”通过最初的例子引入模拟，并说明如何评价模拟估计量的效率。后半“Principles of Derivatives Pricing”涉及定价与复制、套利与风险中性定价、计价单位变换以及风险的市场价格。两部分合起来，说明了定价问题如何转化为蒙特卡罗方法可以处理的积分问题。

第2章：Generating Random Numbers and Random Variables

本章讲每一个模拟都要用到的基本工具：随机数生成（线性同余生成器、其实现与格结构、组合生成器）、一般抽样方法（逆变换法与接受–拒绝法），以及正态随机变量和向量，包括一元和多元正态的生成。

第3章：Generating Sample Paths

这是前三章中最长的一章（第79–184页），依次讲金融工程中使用的各种模型及其模拟方法：布朗运动、几何布朗运动（含路径依赖期权）、高斯短期利率模型、平方根扩散、带跳的过程，以及两类远期利率模型，即连续利率的HJM框架和简单利率的LIBOR市场模型。前言指出，本章和第1章所含的金融背景比单纯运行模拟所需的更多，因为许多有趣的模拟问题正出在模型细节上。

第4章：Variance Reduction Techniques

控制变量、对偶变量、分层抽样、拉丁超立方抽样、匹配基础资产（矩匹配与加权蒙特卡罗）和重要性抽样，各配有金融例子，最后以总结性的一节比较各种方法。

第5章：Quasi-Monte Carlo

本章从一般原理（偏差、van der Corput序列、Koksma–Hlawka界、网与序列）出发，再讲具体的低偏差序列构造（Halton与Hammersley、Faure、Sobol'）、格点规则和随机化拟蒙特卡罗，最后讨论在金融中的应用，包括数值例子和实施策略。

第6章：Discretization Methods

模拟连续时间模型，就是模拟它的离散时间近似。本章从Euler格式和收敛阶开始，接着讲二阶方法（标量与向量情形、路径依赖、外推），再讲一般展开、跳扩散和均方误差的推广，用布朗插值处理极值与障碍穿越，最后是变量替换。

第7章：Estimating Sensitivities

本章比较三种估计价格敏感度（“希腊字母”）的方法：有限差分近似（偏差、方差与最优均方误差）、路径导数估计（含无偏性条件）和似然比方法，后者还处理了gamma。

第8章：Pricing American Options

美式期权定价要求在模拟内部求解最优停时问题。在给出问题的表述之后，本章依次讲参数近似、随机树方法（高估计量与低估计量）、状态空间划分、随机网格方法、基于回归的方法与权重，以及对偶性。

第9章：Applications in Risk Management

最后一章从定价转向风险度量：损失概率与风险价值（VaR）、利用delta-gamma近似的方差缩减、厚尾情形，以及信用风险（违约时间与估值、相依违约、组合信用风险）。前言提醒，本章的模型和方法与前面的定价各章不同。

附录

附录A讲收敛概念、中心极限定理和置信区间。附录B陈述随机分析的结果：伊藤公式、随机微分方程、鞅和测度变换。附录C给出期限结构术语和利率衍生品。

核心概念

第1–3章：基础、随机数与样本路径

• 模拟估计量的效率：第1章引入的、用来比较不同模拟估计量的标准。
• 风险中性定价与计价单位变换：把衍生品价值变成可用模拟估计的期望的定价原理。
• 逆变换法与接受–拒绝法：从非均匀分布抽样的两种一般方法。
• 模型的模拟：布朗运动、短期利率与平方根模型、跳过程、HJM与LIBOR市场模型，每一种都配有生成路径的方法。

第4–6章：把模拟做得更好

• 方差缩减：控制变量、对偶变量、分层抽样、拉丁超立方抽样、矩匹配与重要性抽样。
• 低偏差序列：Halton、Faure、Sobol'序列等确定性点集，随机化拟蒙特卡罗可以恢复误差估计。
• 离散化误差：模拟离散时间近似所带来的偏差，由格式的收敛阶（Euler格式与二阶格式）决定。

第7–9章：金融中的专题

• 路径导数估计与似然比估计：与有限差分相对照的两种求导估计方法。
• 高估计量与低估计量：美式期权价值的上下估计，与第8章末的对偶性讨论相联系。
• 风险价值与delta-gamma近似：风险度量，以及用来加快其模拟的二次型组合近似。
• 组合信用风险：违约时间与相依违约。

评析

优点

• 模拟与金融相互解释。 前言把本书既看作透过金融来看的蒙特卡罗著作，又看作透过模拟来看的金融工程著作，因此期限结构模型和定价模型是通过实现它们来学习的。
• 一卷涵盖整个领域。 目录从随机数生成器，经方差缩减、拟蒙特卡罗、离散化、希腊字母和美式期权，直至风险管理。Mathematical Reviews（Benjamin Jourdain）、Zentralblatt MATH（Radu Theodorescu）和Journal of the Operational Research Society（A. Zhigljavsky）的书评认为它内容全面，有可能成为该领域的主要参考书。
• 对严格性的态度坦率。 前言说明，可积性、解的存在等技术条件常被略过，只有在影响某种技术适用范围时才明确说出。附录B为需要的读者给出了主要随机分析工具的精确表述。
• 章内结构固定。 多数章节把方法与例子配对，并以总结性的评述收尾，有助于比较和选择方法。

局限

• 先修要求是实在的。 前言指出最重要的先修知识是熟悉伊藤积分、随机微分方程和鞅，其中用到的最高深的概念是测度变换和Girsanov定理。附录B是对这些工具的提醒，不能代替学习。
• 对技术条件的处理较为非形式化。 需要收敛性或无偏性的定理级证明的读者必须查阅所引文献；本书的目标是实现。
• 部分内容已显陈旧。 这是2003年的文本，不含其所涉主题的后续研究，需要了解当前实践的读者应以较新的文献补充。
• 最后一章自成一体。 前言指出第9章的模型和方法不同于前面的定价各章，所以它只是风险管理的部分入门，而不是完整论述。

在课程中的定位

在本课程的其他书中，Hull的 Options, Futures, and Other Derivatives 及其较短的姊妹篇 Fundamentals of Futures and Options Markets 提供了Glasserman仅轻度假定的市场与定价背景，初学衍生品的读者应由此入手。Björk的 Arbitrage Theory in Continuous Time、Musiela与Rutkowski的 Martingale Methods in Financial Modelling、Bingham与Kiesel的 Risk-Neutral Valuation 以及Lamberton与Lapeyre的随机分析著作，对定价理论作了数学化的论述，而第1章和附录B只是作了概括；缺少连续时间金融知识的读者，可以把其中之一当作自然的先修读物。

Glasserman提供的是计算方面。Platen与Bruti-Liberati的 Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance 是一部更偏数学、篇幅更长的专著，讨论带跳SDE的离散化格式，在收敛阶和数值稳定性方面比第6章深入得多；Glasserman的书则更宽广、更偏金融。Rebonato关于LIBOR市场模型的书和课程中的固定收益教材，是3.7节和附录C期限结构内容的有益补充。

如何使用本书

正如前言所说，本书适合金融工程的研究生、使用模拟的研究者以及实现模型的从业者。读者应当具备随机分析和一些期权定价知识，并有足以实现这些算法的编程经验。

初读时，先读第1、2章和第3章中的布朗运动与几何布朗运动部分，然后直接进入第4章的方差缩减，这是模拟运行起来之后改进它最直接的办法。3.3至3.7节的利率模型可以等课程讲到时再读。模拟没有精确解的模型时需要第6章的离散化。第7章和第8章（希腊字母与提前行权）是衍生品定价实践的核心；第5章的拟蒙特卡罗是可选的延伸，供想了解随机抽样之外的确定性方法的读者阅读。准备从事风险管理的读者适合读第9章。

边读边实现：为第3章的每个模型写一个模拟器，然后加入方差缩减，并用附录A的置信区间内容比较标准误差。请随时翻阅附录A和B，以便核对记号，以及非形式化论证背后的精确表述。