01 / 导读
导读
引用
Lamberton, D., & Lapeyre, B. (2007). Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC.
章节概要
第1章：Discrete-Time Models
全书从离散时间开始，在这里无需随机积分就能看清核心思想。本章建立资产、交易策略和自融资组合的形式化框架，把鞅与无套利联系起来，并讨论完备市场和期权定价。第二版增加了关于资产定价基本定理的Rogers方法以及不完备市场中超复制的补充内容。本章以关于Cox、Ross和Rubinstein模型（Black-Scholes模型的离散时间对应）的一道综合题结束。
第2章：Optimal Stopping Problem and American Options
定义停时，引入Snell包络、上鞅分解，并把它们应用于离散时间美式期权的定价与对冲。
第3章：Brownian Motion and Stochastic Differential Equations
连续时间的工具：布朗运动及其性质、随机积分与伊藤微积分（包括伊藤公式），以及随机微分方程。
第4章：The Black-Scholes Model
介绍模型，用概率测度变换为期权定价和对冲，并处理美式期权。第二版增加了隐含波动率和局部波动率模型，包括Dupire公式。
第5章：Option Pricing and Partial Differential Equations
把欧式期权价格与扩散过程及其满足的偏微分方程联系起来，讲述抛物型方程的数值解法，并讨论美式期权的偏微分方程方法。
第6章：Interest Rate Models
利率建模的原则，随后是经典模型（Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross和Heath-Jarrow-Morton）。第二版新增的计价单位变换、远期测度和远期Libor模型属于利率部分。
第7章：Asset Models with Jumps
介绍泊松过程、资产价格的跳跃扩散模型，以及价格出现跳跃时的期权定价。
第8章：Credit Risk Models
第二版新增的一章，涵盖基于企业资产价值的结构模型、基于强度的模型，以及用于违约时间联合分布的Copula。
第9章：Simulation and Algorithms for Financial Models
金融模型的模拟、方差缩减方法和计算机实验。第二版扩充了本章，增加了说明方差缩减与对冲策略的数值实验。
附录
复习正态随机变量、条件期望和凸集分离，之后是参考文献和索引。
核心概念
第1–2章：离散时间与最优停止
- 自融资策略与套利：不需要外部资金的交易策略，以及无需净投资即可获得无风险利润的可能。
- 鞅与完备市场：无套利价格的刻画，以及每个未定权益都能复制的市场。
- Snell包络与停时：把美式期权定价作为最优停止问题的工具。
第3–5章：连续时间与Black-Scholes
- 布朗运动与伊藤微积分：随机积分与伊藤公式。
- 概率测度变换：把定价转到风险中性测度的技术。
- 隐含波动率与局部波动率：让波动率随执行价和期限变化的扩展。
- 定价与偏微分方程的联系：期权价格是抛物型方程的解，可以数值求解。
第6–9章：扩展
- 短期利率与远期利率模型：Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross和Heath-Jarrow-Morton。
- 跳跃扩散模型：由泊松过程驱动、含不连续性的资产价格。
- 结构化与强度型信用模型、Copula：刻画违约及违约间相关性的方法。
- 蒙特卡罗模拟与方差缩减：数值估值及使其高效的技术。
评析
优点
- 简明紧凑。 全书约250页，提供所需的随机分析并将其应用于衍生品定价的主要议题，而不是为随机分析而讲随机分析。出版社称其为对金融中所用随机方法的扎实入门。
- 从离散时间起步。 鞅、套利、完备性和美式期权先在离散时间中出现，使经济思想与连续时间的技术细节分开。
- 篇幅虽小，覆盖面广。 除Black-Scholes模型外，书中还涉及利率模型、跳跃模型、信用风险和模拟。
- 习题与综合题。 出版社指出第二版增加了习题和综合题，第1章以一道完整的建模题结束。
- 第二版有实质更新。 新增内容包括局部波动率与Dupire公式、计价单位变换、远期测度、远期Libor模型和信用风险一章。
局限
- 默认读者具备概率基础。 本书讲授随机分析，但要求读者熟悉测度论概率、条件期望和鞅；只有一个简短的附录复习部分结果。
- 后面几章篇幅短。 利率、跳跃和信用模型在这样篇幅的书里各占一章，因此是入门而非完整论述。
- 计算方面的指导有限。 模拟一章是唯一涉及计算的章节，书中没有提供大量实现材料。
在课程中的定位
在资产定价与衍生品书单中，这是篇幅较短、以数学为先的入门书之一。Björk的Arbitrage Theory in Continuous Time、Bingham与Kiesel的Risk-Neutral Valuation以及Musiela与Rutkowski的Martingale Methods in Financial Modelling覆盖同一条主线但篇幅更长，其中最后一本体量大得多，对利率部分尤其深入。Hunt与Kennedy的Financial Derivatives in Theory and Practice是进入定价理论的另一条路径。
Hull的Options, Futures, and Other Derivatives提供了Lamberton与Lapeyre没有的市场和产品背景，而Hull较短的Fundamentals of Futures and Options Markets更为平易。Glasserman的Monte Carlo Methods in Financial Engineering以及Platen与Bruti-Liberati关于带跳随机微分方程数值解的书，在模拟方面远远超过本书最后一章。
如何使用本书
本书适合已有扎实概率与微积分基础、希望从离散时间模型走向Black-Scholes及其扩展的读者，想要一条简洁而严格的路径。它适合数学金融课程，或与偏市场的教材搭配自学。
先读第1、2章，再读构成核心的第3、4章。打算用偏微分方程做数值定价的读者需要第5章。第6至8章彼此基本独立，可按兴趣选读。第9章适合与任何编程练习配合。用附录复习条件期望，并在进入连续时间之前做完习题，特别是第1章末的综合题。